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forinole valevoli per qualunque s con parte reale non negativa, la penultima delle 
quali fa trovata da Piltz e Stieltjes in lavori, che citerò in seguito. Dall'ul- 
tima si trae 
5'(0) = Hm log (n !) — n -f n log « 4- — lognj , 
ossia sostituendo per log^i!] il valore dato dalla formola di Stirling 
log(^» !) = y log (2t.) + -f i-) log n-r,-^-^^ , (0 < ti < 1) 
si ricava 
(78) r(0; = lim [ - 1 log (2ir) _ ] = - 1 log (2^) , 
formola , che a suo tempo occorrerà ricordare. 
Più recentemente nella comunicazione 
Lerch — Sur une intégrale, qui représente la fonction ?(s) de Rie- 
mann. Chicago Congress. Matheui. papers. I, p. 165, 1895 
è stata data la seguente formola valevole per ciascun valore finito di s 
-12'— 1 2' 
/» 1 sen f 9 — 
StS9 
cos 
'9 
62. Relazione funzionale di Schlòmilch. — Ritornando alla memoria di Rie- 
mann , in essa l'autore, dopo avere estesa la funzione ? a tutto il piano, passa, 
mediante un calcolo di residui, a stabilire una relazione funzionale verificata dalla 
Supposto 5l{s]<C0, deduce che si ha 
(19) ?(5) = (27:/-'.2cos(.9 — l)^.r(l — 5)^(1 — . 
Questa importante relazione era già stata trovata sotto altra forma da Schlò- 
milch 'Ueber eiue Eigenschaft gewisser Reihen. ZfiischriJÌ f 'drMo.tliem. 
v.iid Pkgs. Jahrgang III, p. 130, 1858). La dimostrazione, che se ne trova nella 
memoria di Riemann, suppone negativa la parte reale di s\ ma pel noto teorema 
della teoria delle funzioni di variabile complessa : 
Se due /unzioni hanno gli stessi valori in una qualunque area della loro co- 
mune regione di continuità, 0 lungo una qualunque linea di questa regione, purch^- 
questa linea non sia infinitamente corta, allora lo due funzioni hanno lo stesso va- 
lore in tutti i punti della loro comune regione di continuità, 
(FoBsvTH — Theorie of Functions of a complex Variablc, p. G0\ la 
relazione stessa può ritenersi vera in tutto il piano. 
Facendo uso delle proprietà della funzione P espresse dalle eguaglianze 
