la (79) può trasformarsi in 
— 89 — 
laonde resta dimostrato che 
a) L'espressione 
resta invariata, quando vi si muta s in 1 — s. 
b) Evidentemente lo stesso avviene dell'altra 
Mediante il cambiamento di variabile 5 = + «^"^ > posto 
F^T) = r (1 + j e''"] ^" ^ " ^ ? (I + , 
la predetta relazione funzionale assume la forma dell'equazione alle differenze fi- 
nite 
F(t):=F(t4- 1) . 
(Confronta Vecchi — Sulla funzione Z,{s) di Riemann. Parte I, p. 22, 
Paris, 1899 a 1900). 
65. Distribuzione nel piano degli zeri di ?(5). Teoremi di Hadamard e de 
la Vallèe-Poussin. — Giaccbè il polo e gli zeri della funzione Z,(s) sono quei tali 
elementi analitici , per mezzo dei quali , si costruirà l'espressione per la totalità 
dei numeri primi fino a un limite assegnato, così è bene cbe, fin da ora, cominci 
a raccogliere quanto, da ciò cbe precede, in ordine a questi zeri, può dedursi, cioè : 
Radici reali ^{s) = 0 sono i numeri — 2, — 4, — 6,..., — 2in , . . . , e non 
ve ne sono altre; 
In quanto alle radici non reali non ve ne sono nelle due regioni . iu cui 
^(5) >> 1 , ^(ó-) < 0 , e se un punto della striscia, dove 0 << ^(5) << 1 , è radice, 
lo sarà pure il punto simmetrico rispetto all' asse reale, e quello simmetrico ri- 
spetto al punto 5 = . 
Credo inoltre opportuno qui riferire la proposizione da non molto stabilita, e 
ben più importante di quello, clie a prima vista non paja, clie sulla retta 3{{s) = l 
non vi sono zeri della funziono t,{s). Qaesto teorema trovasi dimostrato nelle note : 
Hadamard — Sur les zéros de la fonction ^{s) de Riemann. Comptes 
rendiis d. s. d. l'A. d. s. t. CXXII, p. 1470; t. CXXIII, p. 93, 1890. 
Idem — Sur la distri bution des zéros de la fonction ^{s) et ses con- 
séquences aritraétiques. Bulle/in de la Sociéti matheinatiqne de Franca, t, 
XXIV, p. 199, 1890, 
Atti — Fo^. X/-SeWe N." 1. 12 
