— 91 — 
si deducono dopo una serie di passaggi le eguaglianze 
1 
Se si pone 
s = + , 
le due ultime espressioni si trasformano rispettivamente nelle due fra loro equi- 
valenti 
(80) I 
1 
1 4 X *cos^~i\ogx^ 
La funzione da esse rappresentata esiste ed è finita e continua in tutto il 
piano, e perciò, dovunque in questo, resta definita una funzione 4 della variabile 
complessa t, la quale è è legata alla ? dalla relazione 
(81) i(t)=^^r:-^r[^)m . 
Le espressioni (80) di è mostrano che questa può essere sviluppata in una 
serie convergente in tutto il piano e procedente secondo le potenne ascendenti di ^^ 
e perciò è(0 e una funzione intera pari di t. 
Richiamando quanto s* è detto circa gli zeri di ?(o) si deduce senza difficoltà 
che la funzione i(t), ossia èj^i^— — sj'] non s'annulla che nei punti della stri- 
scia definita dalle ineguaglianze 0 <iSl(s) <Z.l , nei quali s'annulla ^(s). Ammesso 
che abbia radici, e ricordando che essa è una funzione pari di t. si conchiude 
che le sue radici sono due a due opposte. 
Per lo più le radici , la cui parte reale sia positiva, ordinate in modo che i 
loro moduli non decrescano mai, si sogliono indicare coi simboli , «.^ , «3 , . . . . 
Sicché tutte le radici di è(0 == 0 sono ± a, , ± , ± , . . . , e quindi tutte le 
radici non reali di ^{s) = 0 sono 
— zìzoL.t , — rn a.,? , — 
2 ' 2 * ' 2 
Or qui è uno dei passi oscuri della memoria di Riemann. Egli enuncia le 
proposizioni : 
