— 93 — 
si introducano due nuove funzioni Z^^/") > (^) cosi definite, che sia f[x)~b'.x) 
sempre che x non sia un uumei'O primo, ed f[x)=.ò{x) + 4" cibando x eguagli 
un numero primo. 
Sia poi 
f,{x) = fix) -f y f{x*) + ^ f(x') -f . . . ; 
ed è facile convincersi che = ^i, (^) sempre che j: non è potenza di un nu- 
mero primo, ed invece /^{j;) = f)^(x) -\- — , se x è la potenza v-'™^ d" un numero 
primo. 
In altre parole /(x) è la media aritmetica fra e ^(.2?), mentre (j;-) lo 
è fra ^Jje) e ^, (•>?')• Sicché, malgrado le discontinuità, per qualunque valore di x ^ 
reggeranno le eguaglianze 
/•(•-■) =Y [/"(^'--o) -ri'^^o)] 
il che renderà possibile l applicazione delia formola di Fourier, che fra poco sarà 
invocata, e darà ragione della introduzione delle funzioni /j ed che passo suc- 
cessivamente a determinare seguendo Riemann. 
Dalla identità (17) di Eulero si trae 
log ^(s) = 2 ~ 4- 2 1'"' - T 1p~" + • • • ' 
p p p 
la quale, poiché 
rr'=s f\-'~''^y . p--' = s y-'-^ dy , p-^' = s pr'-^y , . . . , 
p pi p3 
si può scrivere 
(82) '^=^ r>-'J^ + ^2 fl-"'^y^ll fV'-'^y 
"p^ "'p^ 
Ora 
p s 3 s 7 p 
g indicando il numero primo successivo al numero primo p. Or essendo 6(5/) co- 
stante per tutti i valori di y a destra di j) e non superiori a y , si ha 
Hq)fV'-'dy= J\{y)y-'-'ày . 
