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Se ora si ricorda (§ 63} che — 2m (per m = 1 , 2 , 3 , . . .) sono le radici reali di 
^(ò') = 0, come ~dz»i ne sono quelle non reali, e si conviene di indicare col 
simbolo c tutti gli zeri reali o no di ^(5) , la formola (88), osservato ancora che 
— ^ è il valore di ^(0), si trasforma in 
(88 ' /,C'')-=log[-S(0)] + Li(a;) + V r £11 dr , 
0 
dove la sommatoria è estesa a tutti gli 0 di Ricordando infine che 1 è il 
polo di ^(s) si riscontra l'esattezza dell'asserzione fatta in principio del § 63 che 
il polo e gli zeri di ^(s) sono gli elementi analitici occorrenti a costruire la formola, 
che si aveva in mira. 
69. Funzione ix(u) di Mòbius. Deduzione di /(a^). Valore di /(ai) ricavato 
tenendo conto solo della parte continua di /,(^). Riduzione eseguita daGram, 
alla forma più comoda di detto valore — La determinazione di /(ai) si esegue 
agevolmente per mezzo dei fattori introdotti da Mobius (Ueber eine besondere 
Art von Umkehriing der Reihen, Creile Journal /ito' d. r. u. a. M. Voi. IX, 
p. 105, 1832). 
Definiscasi la funzione \ì.(ìì) eguale a + 1 > allorché n~\, oppure n è pro- 
dotto d'un numero pari di fattori primi tutti differenti; sia invece fji(«) = — 1, 
allorché tale numero di fattori primi è impari; e infine sia pi(?i) = 0, quando ìh 
è divisibile per qualche quadrato diverso da 1. 
Confrontando questa definizione della funzione jj.(w) colla regola di Cauchy 
per calcolare le somme delle potenze simili delle radici primitive dell' equazione 
binomia ^/ — 1 = 0 (Trudi — Intorno alle equazioni binomie. Atti della B. 
Accademia delle Se. /s. e mat. di Napoli. N. 43, voi. Ili, 1868) si scorge che la 
somma di dette radici primitive é proprio \3-{ìì). 
È facile dimostrare (cfr. Bachmaxn — Zahlentheorie. II. Th. , Gap. XI, 
§ 1) che 
se la somma si estende a tutti i divisori r/,, di un numero n diverso da 1 , com- 
presi i divisori 1 ed n. D'altronde questa eguaglianza é una conseguenza imme- 
diata della seconda definizione, giacché ^v-(d„) esprime la somma di tutte le radici 
dell'equazione u?" — 1 = 0. 
Posto ciò se fra due sistemi di funzioni Xr ed Yr si hanno delle relazioni 
della forma 
Y3 — X3 + Xg -f Xg + 
si deduce subito 
(91) 
X, = f;.(l)Y. + p.(2)Y, -f ^(3)Y, + . 
