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e analogamente possono trarsi X, , , . . . , naturalmente supposto che le serie, di 
cui si tratta, siano convergenti. 
Posto 
Y, = l/',(.r^) , x, = 1a..^), 
r r 
la (91) dà la desiderata funzione 
fix) = nix) - -i /•,( J) - ^ /.( J) - i /-.( J) 4- ^ T\{^^) = 2 f^^h ■ 
n 
Ed è questa la formola, clie risolve il problema capitale di queste ricerche ^ 
giacché ,f(£e) equivale a 6(ìp) o a 9 (a;) -\- — . secondo che x non è, o è un numero 
primo. Invece di eseg'uire su l'operazione indicata nell'ultima eguaglianza si 
può operare separatamente su ciascuna parte del secondo membro di (88). 
Operando sul termine — log 2 , in virtù delF eguaglianza (93) , di cui fra 
poco parlerò, si ha per risultato zero. 
Il termine Li(./-) fornisce 
(92) Li (a;) - ^ Li ( J) - ^ Li ( cioè V ^ ^i ( . 
n 
In quanto a ciò che rimane non si sa semplificare l' espressione , che se ne 
deduce, nè valutare convenientemente i limiti fra cui questa varia ; ma basandosi 
sul confronto frai risultati ottenuti coi metodi esposti nei Capitoli I e II coi va- 
lori della espressione (92), si ritiene che questa fornisca un valore approssimato 
di f{x) 0 0(a;) tale che la deviazione di esso da ^{x) sia di ordine di grandezza 
non superiore a quello di cc^ , comunque piccolo sia il numero positivo ct : ma 
ciò non può dirsi ancora rigorosamente dimostrato (cfr. IX, § 88 a 91). 
70. — Il Gram a pag. 30 della memoria più volte citata (IV, 25) trasforma 
tale valore approssimato in un altro più comodo pel calcolo numerico. 
A tale scopo occorre fare uso delle due eguaglianze 
(93) Ì'^"?=0, 
n=l 
00 - 
n=:l 
Queste furono date, senza dimostrazioni rigorose, la prima da Eulero (Intro- 
ductio in analjsis infinitorum, t. I , p. 229-1748), la seconda da Mòbius 
neirarticolo citato al § precedente. Attualmente esse sono state provate con tutto il 
rigore, ma alquanto laboriosamente. Io pel momento le giustifico, ammettendo, come 
