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Come il titolo stesso lo Indica buona parte del lavoro di Hadamard è un ca- 
pitolo di Analisi , in cui son trattate proprietà molto generali delle funzioni ana- 
litiche non ammettenti nessuna singolarità a distanza finita, cioè a dire delle fun- 
zioni intere. Nelle ultime sei pagine si applicano alcuni dei risultati ottenuti alla 
funzione è. 
Più tardi il von Scraper nel lavoro 
Ueber die Theo rie der Hadamard'scheu Fu nk tiene n iiud ih re 
Anwendung- auf das Problem der Primzahlen. Inaugurai- Disserta - 
iion zur Erìangumj der Doktorwurde der Universitàt zu Gòttingen, 1898, 
e' il BoREL in varii lavori, e segnatamente nelle sue 
Lecons sur les fonctions entières. Paris, 1900, 
restringendosi alle funzioni di genere finito, e avendo principalmente in mira ciò 
che è necessario per dimostrare la proposizione c) , riuscirono a rendere più di- 
retta e semplice la via. 
Io quindi, seguendo i due ultimi autori, della teoria delle funzioni intere ri- 
ferisco le definizioni, e gli enunciati, che è indispensabile ben percepire. Espongo 
poi, lievemente modificandola, la dimostrazione del teorema c) , che si legge nella 
dissertazione di von Schaper. 
Siano , , , . . . numeri complessi, i cui moduli formino una successione 
non decrescente , e che tenda alP infinito , potendo parecchi consecutivi di questi 
numeri complessi essere eguali fra loro. 
Supponiamo dippiù siano essi stati dati in iiiodo che esista un numero in- 
t» ^ 
tero k -\- \ tale che la serie 2 ^ — tatt sia convergente, e sia inoltre k \ il più 
piccolo intero, per cui questo accada. 
Formiamo il prodotto infinito assolutamente , ed uniformemente convergente 
Qualunque funzione intera F(z), che abbia per zeri , , «3 , . . . deve es- 
sere della forma e^^''''G{z) , in cui }l(z) è anch'essa una funzione intera, che può 
in particolare essere anche un polinomio. Supponiamo che questo avvenga, e sia 
q il grado di H(.;). 
In tali ipotesi il più grande frai due numeri q e k h stato denominato da- 
gli autori francesi il genere della funzione F(2;), la quale, così come s' è fatta 
nascere, costituisce la classe delle funzioni intere di genere finito. 
Secondo von Schaper, è chiamato V altezza di ^{z), e le funzioni di genere 
finito son dette funzioni di Hadamard. 
Se H(2) non si riduce ad un polinomio, oppure se gli zeri a^ di una fun- 
zione intera, comunque assegnata, sono tali che non esista il numero Ji -f 1 ca- 
ratterizzato dalla proprietà sopra indicata, si dirà che la funzione è di genere in- 
finito. Qui basta limitarsi a considerare le funzioni di genere finito. 
