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Essendo 4(0 ima funzione pari di /, i valori che essa assume nei puuti del 
semipiano, in cui 3l(s)> , sono identici ai valori, che assume nei punti sim- 
metrici rispetto al punto s = -^. Quindi la (104) è valida in tutto il piano. 
Da essa si raccoglie che l'ordine apparente di 4(0 rispetto a i* non può su- 
perare — ; e quindi il genere è zero, il che era da dimostrarsi. 
L'assenza dei fattori esponenziali nello sviluppo di i(t) in fattori primarii, ac- 
certa della esistenza delle radici di 4(0; lo sviluppo di 4(0 secondo le potenze 
ascendenti di (che si ricava da una delle espressioni (80) rimpiazzando il co- 
seno col suo sviluppo) dando luogo a una serie infinita, assicura che queste radici 
non sono in numero finito (cfr. § 64). 
76. Circa il numero delle radici di 4, la cui parte reale sia compresa fra 
0 e un numero positivo T molto grande, secondo Hadamard, e von Mangoldt. — 
Oltre a ciò, da considerazioni fatte circa la deduzione della legge di crescenza delle 
radici da quella dei coefficienti dello sviluppo della funzione intera. Hadamard, 
trae che 
// rajjporù) ^ — ^ j rrò-fa Jinìfo, e II suo liraite su^ieriore pfv v in/mito è t oni- 
preso fra ed - - . 
^ ' 7.5(> 4 
Di qui risulta che il numero delle radici , la cui parte reale sia compresa 
fra 0 e un numero positivo T molto grande, è delPordine del prodotto T log T. 
Questa conclusione dedotta in modo, che pur qualche dubio resta, non giunge 
a provare la proposizione a) di Riemann, giacché paragonata alla formola ivi data, 
non costata in questa Tesatteisza nò del coefficiente — di TlogT, nò quella del 
termine consecutivo in T. 
La proposizioiie a) si trova ineccepibilmente stabilita nella prima parte della 
memoria : 
voN M ANGOL DT — Z\i Riemauns Abhandlung «Ueber di Anzahl 
der Primzahlen un ter eincr gegebenen Grenze». Creile Jonrnal far 
die r. u. a. M. Bd. CXIV, p. 255, 1890. 
In questa dopo lunghe calcolazioni e ingegnose considerazioni si arrivano a 
porre in sodo i risultati : 
1. '' L'equazione 4(t)=::0 non ammette nesmna radice, la cui parte reale, 
fresa in valore assoluto, sia <12. 
2. *^ Per tutti i mlori del numero reale T, superiori a 12, il numero delle, 
radici dell'equazione 4(t} = 0, le cui 'parti reali sono positive, e non piìi grandi di 
T. 6' rappresentato daW espress ione 
1 log 1 _ _L 1 -L ^ I 0 34 (log T;' + 1 ,35 log T -j- 1,33 ] , 
Jit -ìt. ìtc 4 
dove ri indica wii numero coiiipreso fra — 1 e 1 . e dooe^ allorcìtè si presentano, 
radici multiple, ciascuna è contata per tante unità quante ne contiene il suo ordine 
di multiplicità. 
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