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Ha fatto risiorgeie la <j;>erau?.a di avere fra non luO-to ;ina diraostrazisne de'la 
pi-oposiziouc la nota 
.Ien.skx — Sur un nouveì et important théprème de la tìiéorie des 
fonetiuns. Ada MaUteMatica. Voi. XXII. p. 359, 1899. 
In essa l'autore considera una funzione meromorfa in una regione del piano, 
che contiene nel suo interno il punto c — 0 . nel quale la funzione non sia nò 
zero, nè infinita. Siano poi . , . . . , tutti gli zeri , e . h^ . . . . . tutti i 
poli della funzione situati ali" interno, (> sulla circonferenza d"ui: circolo \ z\—r 
compreso tutto nella regione assegnata : di questi zeri . e di quo ti poli ciascuno 
va contato tante volte quante l' indica il suo grado di muitiplicità. 
Con tali notazioni il teorema, cui egli perviene mediante semplicissima di- 
mostrazione, è espresso dalla eguaglianza 
.3- / 1> g 1 ,•"('->) i '-'^ = log I /'(Oj I -r 1-g . ' ' . 
0 
Se J\z) è una funzione intera, si può scegliere r grande quanto piace, e, sup- 
posto che non vi siano zeri all' interno del cerchio, il secondo membro deirultima 
eguaglianza si riduce al suo primo termine . che è costante. Si La cosi un cri- 
terio prezioso per decidere sull' assenza di radici di una funzione intera all' in- 
terno d'un cerchio. In fine della nota l autore annunzia che mediante ie sue ri- 
cerche sulle serie di Dirichlet, e applicando il precedente teorema è riuscito a tro- 
vare che la funzione i'\J) non ha zeri in un qualunque cerchio avente il centro 
al finito sull'asse immaginario e passante per 1' origine : il che equivale ad af- 
fermare che tutte le radici di è(0 sono reali. Ma si riserva di far conoscere la 
dimostrazione annunziata, dopo che avrà Terminata la redazione d'una memoria 
sulle funzioni numeriche. Soggiunge che ivi egli dedurrà per la finizione 
la formola 
v=l 
essendo 
e non essendo d'altra parte p„ d"un ordine piiì piccolo di V n (cfr. V enunciato di 
Dirichlet, III, 18 e V, 30). 
78. Dimostrazione rigorosa della formola di Riemann data da von Man- 
goldt. Dissertazione di Piltz. — Vengo ora alla lacuna piiì grave della memoria 
di Riemann indicata nel (Vili, 67). Questa resterebbe colmata, dimostrando che 
la serie 
EX 
per l'ordinamento delle a specificato nel (Vili, 64), converge, ed ha per somma 
quella indicata da Riemann. 
