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Ora per la definizione della funzione g{x,i) (§ 79). se x non è nn numero 
primo, nè potenza intera d'un numero primo, è 
g{a: , 0) = e(x) + ©(a;^) + ~ e(ar^) -f . . . = = f,{x) ; 
se invece x eguaglia nna potenza intera dun numero primo, è 
g'x , 0) = ' — : = — fA^) . 
Inoltre si ha 
0 
Laonde, tenendo anche presente la (90) (cfr. Vili, 68) la (115) si trasforma 
finalmente in 
(SS, ,(.) = - u,.2 + f^^pr^L _ - i ; Li (..i--) -f Li (.^-"•) I , 
che è la formola di Riemann, la quale si trova così dimostrata in modo inattac- 
cabile : non reggendo robjezioue che de la Vallee Poussin (Recherches ana- 
Ivtiques etc. 1 Partie , p. 70, nota a piè di pagina) avea temuto potersi fare 
contro la dimostrazione del teorema d] 78 ; cosa che lo stesso autore ha poi ri- 
conosciuto nella nota a piè della pag. 119 della III parte della medesima opera. 
82. — Alla lacuna colmata dalla memoria di von Maugoldt nel modo , che 
ora ho finito d'esporre, avea però già provveduto se non con tanti sviluppi, al- 
meno nella parte sostanziale, una pubblicazione precedente cioè 
PiLTz — Ueber die Hàufigkeit der Primzahlen in ar ithmetischen 
Progressionen und ùber verwandte Gesetze. Dissertatmi zur erlangung 
der Venia docendi. Jena, 1884. 
Su questa dissertazione , che per la poca difiiisione era rimasta inosservata , 
ha richiamata Tattenzione degli studiosi il Bachmann nella Z ahlentheor ie (Ap- 
pendice al voi. II, p. 487). Però se da una parte va riconosciuto al Piltz d'es- 
sere pel primo penetrato più profondamente nel pensiero di Riemann , non può 
negarsi che riesce più agevole pervenire agli stessi risultati , seguendo gli svi- 
luppi di von Mangoldt. 
Ritornerò sulla dissertazione di Piltz a proposito del problema più generale, 
di cui parlerò nel Capitolo XI. 
