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^— dò' lungo un certo contorno racchiudente il punto 1; ma la sua argo- 
mentazione non è solidamente basata, giacché richiede la sicurezza che in pros- 
simità della retta Sl{s) = l non vi siano radici di i sicurezza, che neppure 
può aversi ora che s' è trovato un limite superiore più basso di 1 della parte realfr 
delle radici non reali di Z{s) (Vili, 63); giacché detto limite tende a 1, quando 
il coefficiente di i nella parte immaginaria cresce indefinitamente. 
La proposizione lim = 1 si trova pure dimostrata , data T esistenza del 
limite, nella nota di Cksàro già citata nel (VI, 47). 
Ma dove le due eguaglianze 
im = 1 
sono state la prima volta dimostrate , senza nulla ammettere , si è al N. 54 del 
lavoro di de la Vallèe Poussin Recherches analytiques etc. (già piìi volte- 
ricordato cfr. Vili, 61). Quasi contemporaneamente Hadamard nei lavori, di cui 
ho riportato i titoli nel (Vili , 63) dimostra la proposizione : 
La somma 2I^08"/'(^08'~j estesa ai numeri primi infeinori ad x , e 
dove p. è supposta maggiore di 1, è assintotica ad x\ e, poscia fa vedere come in 
questa è contenuta , come caso particolare , quella relativa al valore assintoticO' 
di X(./-). 
Riferisco la dimostrazione di de la Vallèe-Poussin , che apre l'adito a ulte- 
riori conseguenze. Perù assumo come dimostrata (cfr. il N. 54 della I parte delle 
Recherches analytiques etc.) l'eguaglianza 
(US) 2 - 2 l^V- P, - log .V - C - 1 -f e , 
dove e indica qui e nel seguito di questo Capitolo una funzione, che tende a 0, 
quando la variabile y cresce all' oo , senza che le varie funzioni indicate dal mede- 
simo simbolo e in successive relazioni siano astrette a prendere lo stesso valore. 
Moltiplico ambo i membri di (118) per dy, integro fra 1 ed «, e divido per 
.r; ottengo 
Ora è 
I 
d'altra parte 
r-^ 1 
I logydy =r Ioga; — 1 -f — ; 
1 c -f 1 1 r' 
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1 
