— 130 — . 
nella sua Tesi citata nella nota a piè della pagina 92, di un teorema da lui attri- 
buito allo Stieltjes senza precisar data, e che è stato pure formulato da Sylve- 
STER nel 1881 (cfr. IV, 28). 
Detto teorema è : 
La totalità dei numeri lìrimi compresi fra x e (1 -f- k)x . per piccolo che sia 
k, cresce indefinitamente con x. 
Ecco come Cahen dimostra tale verità. Dal § 84 si trae 
elx(i+*)| 
2 log;),.r=^(A -f e) , 
donde 
■n lo? Pi x(h-\- t) 
.[..(i+,,]-e,.)> £ ^-^-^ = ,^-^L_^ ; 
ma 
.r(/; + e) 
lim » 
«:=«log[.r(l-i-ft)] 
in conseg'uenza 
iiin j Oi .r(l-f A)] — e(.>;) ! = » . 
88. Prove complete di de la Vallèe -Poussin , e von Mangoldt delle egua- 
glianze 
lim — I , lim — ' =1 . 
Limitazione dell'ordine di grandezza delle differenze Lif^^-) — ò^{x),'Lì{x) — 6(^) 
secondo de la Vallèe-Poussin. — Ma più importante corollario è la dimostrazione 
rigorosa, che prima mancava, delle eguaglianze 
a?=«Ll(.t) fl:=«)LÌ(a7) 
Queste non risultavano dalle ricerche esposte nei Gap. IV e V, giacché que- 
ste presuppongono l'esistenza del limite, uè da quelle di Riemann, giacché questi 
col proposito di provare che nelle radici a^-\- h.;i di Z,{s) è a = ~ (cfr. Vili, 64), 
non avea tentato di dimostrare almeno essere a^<i 1 , il che basta per la dedu- 
zione in discorso, come tra poco si vedrà (§ 89). 
De la Vallke-Poussin ha dunque dedotto le precedenti eguaglianze come 
conseguenze del risultato riferito a § 85. Dalla eguaglianza 
^ 6(3;) 
lim — V log;}. = 1 
i-l 
