si deduce 
Li(a?7~ Li(-^') ~ j_ "lì (a;) 3 , Li(.r) 
Li(a--'') Li(a:"^) 
e quindi 
Naturalmente le due eguaglianze vanno estese pure alle due funzioni J'{a^) , 
fX^) di Riemann. Ecco dunque' dimostrato rigorosamente il fatto clie la differenza 
fra il logaritmo integrale e ciascuna delle funzioni ^{x) , ^^{x) (o ciascuna delle 
/(.'/') , t\{x)) finisce per annullarsi relativamente alle stesse 6 (a-) , 6,0^) (oppure 
89. — Dopo la pubblicazione del libro di de la Vallèe-Poussin riuscì a von 
Manggldt di dedurre il teorema ora dimostrato dalla stessa formola di Riemann. 
Tale investigazione si trova pubblicata nel lavoro : 
TON Mangoldt — Ueber cine Anwendung der Riemannschen 
Formel fiir die Anzalil der Primzahlen unter einer geg ebenen 
Grenze. Crelle-Fuchs Journal fur die r. u. a. M. VoL CXIX, p. 65, 1898. 
Essendo oltremodo interessante l'apprezzamento dellordine di grandezza delle 
varie parti della formola di Riemann credo opportuno riferire sommariamente le 
argomentazioni di von Mangoldt. 
Egli comincia dall'osservare cbe dalla formola più sopra indicata con (117) 
si trae 
(123) 
- 2 =0 
Nota poi clie la (115) dopo agevoli trasformazioni può scriversi 
/ m T V > , r °° 1 o i/i 2 \~cos(«>g^) 
./ (2/ — l)ylogy Ioga: / \ Iog.r/^ a/ 
ce V — * 
_/J___2_^ 4 _\^ sen(gJoga;) ^ y sen (alloga;) 1 
\2 log a; (logie) «/ j 
" ^ cos(a,log^) r V 2 ; sen(«,loga^) r V 2)'' \ 
dalla quale dopo varii artifizii si ricava 
f(o:)-L\ (a) 
2 log X , Ioga; , 2 log 2. Ioga- j ^ ^^Jo^vj^g^) 
a;^ X +^ I ^ ^ a,' 
co -i. « -± 
-, a- 'cos(a,loga;) | , o V I '''sen (alloga;) | 
+ '2 ^. -. 1- 
+ 
