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+ sono gli zeri non reali di '<^{s) si lia 
j ■r, - cos(a,JogA') | 1 
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j X ■■'sen (a^log,>;~) ! 
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V 
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Per l'imiforme convergenza di queste due ultime serie, e per essere «v<Cl» 
risulta clie queste due sommatorie tendono a 0 per ^ = x ; ricordando poi la (123), 
si con eli inde 
li™ 1 I 
<»=» I /-(a;) I 
= 0 
che è il risultato già ottenuto nel § precedente. 
Lo stesso metodo applicato alla (116) conduce da questa alla formola 
lim ( y — — log'logx) = C — A , 
\ j 
già trovata nel (VII , 50 , 51). 
90. — La dimostrazione di von Mangoldt riassunta nel § precedente, sebbene 
più lunga di quella di de la Vallèe-Poussin, supera questa in quanto cbe fornisce 
qualche indicazione dippiù circa l'ordine col quale ^""^^^^ ^ diventa infinita- 
mente piccolo. 
Però il DE LA Vallee-Poussin nella più recente sua pubblicazione (cfr. Vili, 
63) ha data dell' importante teorema una nuova dimostrazione, che vince alla sua 
volta quella di von Mangoldt, giacché si prova inoltre che le differenze \À{x) — ^<^x), 
Li(ii?) — e(^) non possono essere d\in ordine di g-randezza superiore a quello della 
funzione 
1/0,03282... Ioga; e" '^"'"3282... ioga; ^ 
Ioga; 
Troppo lungo sarebbe il riportare qui i ragionamenti, che conducono a questa 
conchiusione. Eichiamo solo 1" attenzione del lettore sulla importanza di questa , 
giacché essa, soggiunge il de la Vallèe-Poussin, conduce alla conseguenza inte- 
ressantissima : 
Il logaritmo integrale è ima espressione assintotica di 0(x) più esatta di tutte 
le sue espressioni possibili sotto forma finita. 
Per dedurre questa io noto che basta far vedere che la deviazione , cui dà 
luogo il logaritmo integrale finisce per diventare e mantenersi minore di quella 
offerta da qualunque espressione assintotica di Li(i2;' in termini finiti. Ed in vero 
