grandezza superiore a quello di x-'',cr indicando un numero ^jositivo comunque 
piccolo. 
Secondo una osservazione di Phragmén le dette differenze non imsono essere 
$VM ordine inferiore a x*""". 
Che anzi può con maggiore precisione enunciarsi : 
Gli errori, che si commettono ponendo 
sono inferiori a |/x.(logx)' moltiplicato per una costante: e quelli, clic si coni- 
mettono scrivendo 
Sr,(rc)=-^Li(a.O , \x) = U{x') , 
sono inferiori a |/x . log x moltiplicato per una costante. 
91. Prove non complete di Mertens e Franai. — Il Mertens nella nota ci- 
tata nel (VITI. 72) fa notare che nella ipotesi che l'ineguaglianza 
valga da n = 2 fino ad n = ,r , si ha = 1 ^ -\- d , dove 5 è una g-ran- 
Ioga- =" 
dezza di ordine non superiore a quello di ; e in conseguenza il valore assin- 
totico Li(^) di Q(.x) può anche dedursi come conseguenza della proposizione em- 
pirica di Mertens. 
Così pure il Franel nella nota citata nel (IX , 76) riconduce la dimostra- 
zione dell'eguaglianza ^(^0=: ,~ ' + -^"^ p(*^-") ) dove £ è una quantità piccola 
«/ Ioga; 
quanto si voglia, e ?(./•) tende a 0 per ./• = co, alla proposizione h) del (Vili, 64). 
92. Teoremi di Pliragmen sul modo di comportarsi delle differenze 
f{x) — [Li {x) — log2" , 4'(^) — [os — log(2:T) j. — Oltre queste varie proposizioni sul- 
l'ordine di grandezza di sommatorie estese alle radici , vanno notati due teoremi 
del Phragmén connessi ai precedenti, giacché riguardano il modo di comportarsi 
delle differenze 
/■,(a-)-[Li(a)-log2j , à{x) -[x -\og{2'K)-] 
al crescere della Essi si trovano nella nota 
Phragmén — Surlelogaritmeintégral et la fouctionde Rie- 
ra a nn. Oftersigi af Kongì. Vetenskaps Ahade.nieris FòrhandJiiigar, annata 1891, 
p. 599. 
Essi stabiliscono il fatto che: 
Xon v'ha limiti, al di là dei quali le diferenze 
r<x) - \ U{cr) - log2j , ) - [.-■ - Iog(?r)ì 
cessano di cambiar di segno. 
