nota più sopra indicata : la quale è di sommo interesse non tanto per questi ri- 
sultati a cui perviene, ma quanto pel metodo usato; il quale consiste nel riattac- 
care questi problemi di distribuzione dei numeri primi alla teoria dei numeri pri- 
mi complessi (cfr. Lejeune-Dirichlet , Lezioni sulla teoria dei numeri, 
trad. Faifofer , Supplemento XI, come pure Bachmann , Z ablentheorie. Drit- 
ter Theil, XII, XIV, XVIII Vorlesungen). Io, seguendo il cammino inverso, de- 
durrò più sotto L§ 104, d) , e § 111, «y], anzi generalizzerò, i teoremi di Poin- 
caré. 
Nella nota di Stauievitcli sono pure dimostrate queste verità ; anzi , più ge- 
neralmente, chiamate rispettivamente O^My -j- N , x) , >>(My + N , x) la totalità dei 
numeri primi, compresi nella forma lineare -|- N , inferiori ad ^, e la somma 
dei logaritmi neperiani dei medesimi numeri primi , e indicata , come al solito, 
con 9(M) la totalità dei numeri inferiori, e primi relativi ad M, si deduce che: 
Non vè limite al di là del quale cessano di esistere numeri, che verificano le ine- 
quazioni 
CtJO QfOG 
e(My + N,.r)< , X(M?/ + N,^)< —— - , se a>l; 
Gjì^mre 
e(Mj, + N,.)>^-pp^ , X(Mj, + N,.,)>^^ , se a <l . 
Finalmente il Phragmcn nella sua nota mostra come i teoremi di Poincaré 
possono trarsi dal teorema analitico fondamentale della memoria citata nel (Gap. IX, 
I teoremi suenunciati diventano delle evidenze, dopo i risultati, cui è perve- 
nuto de la Vallèe-Poussin, dei quali parlerò più sotto (§ 113). 
96. Problema della frequenza dei numeri primi nella progressione aritme- 
tica abbordato da Piltz. — Il problema dunque della distribuzione dei numeri primi 
fra le forme 4// -j- 1 , 4y -f è compreso nello studio della frequenza dei numeri 
primi nella progressione aritmetica -hN • M -j- N • 2M -f- N • . . . • My + N • . . . (il pri- 
mo termine N , e la ragione M essendo interi primi fra loro). 
Sotto tale forma la quistione è stata abbordata da Piltz nella dissertazione 
citata nel (IX , 82) , cbe anzi questi , ridottosi al caso , in cui la ragione della 
progressione sia un numero primo impari, indica una formola, la quale com- 
prende quella, che fornisce la chiesta totalità (§ 99). 
La dissertazione di Piltz , quand' anche succintamente , mette in evidenza il 
fatto, che generalizzando gli enti, i quali concorrono a costruire la formola di 
Riemann , colla scorta degli elementi introdotti da Dirichlet (Teoria dei nu- 
meri, trad. Faifofer. p. 336) nella celebre dimostrazione del teorema « Nella pro- 
gressione aritmetica -f N • M + N • 2M -f N • ... vi sono infiniti numeri primi, se 
gV interi N ed M sono primi fra loro » si può pervenire a determinare la totalità 
6 My -f- N , .y) dei numeri primi rappresentabili mediante la forma lineare My+N 
ed inferiori al limite x. 
Occorre, per andare avanti con chiarezza , cominciare dalla sopradetta esten- 
sione. Io .seguirò in questo de la Vallee-Poussin, che mirabilmente l'esegue 
