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nelle sue preziose Kecherches già tante volte citate ; mi limiterò ad esporre sol- 
tanto i risultati, e per le dimostrazioni rimanderò il lettore alla fonte. Poscia per 
rinvenire l'espressione di 0(My -f- N , ./■) invece di seguire le tracce di Piltz, stimo 
opportuno di iniziare il mio modesto contributo alla teoria della distribuzione dei 
numeri primi , procedendo col metodo di von Mangoldt , che ha fornito la dimo- 
strazione inattaccabile, e piìi accessibile della formola di Riemann. 
97. Amplificazione della funzione ^{s) per mezzo delle funzioni ^{s , /). Zeri 
di queste funzioni. — Comincio dall'amplificazione della ^{s). Fissato un carattere 
X, secondo un modulo M (cfr. VII , 54 a 58) indichi 
2 
n 
una somma estesa a tutti i numeri interi, che siano primi relativi ad M, e di- 
noti 
un prodotto esteso a tutti i numeri primi assoluti, che non [dividano M. Per tutti 
i valori complessi di s , la cui parte reale è maggiore di 1 , si ha (Lejeune-Di- 
RiCHLET, Lezioni sulla Teoria dei numeri, trad. Faifofer, p. 339) 
2' ^•'Ì!^^ — ^ 
p 
La funzione della variabile complessa s, che nel campo considerato ha l'una e 
r altra di queste due forme sarà indicata da ?(5,'/j) ; sicché in detto campo, in cui la 
serie e il prodotto infinito sono assolutamente convergenti, si ha 
Se Xj non è il carattere principale, nella striscia 0 <C 3l{s) <! 1 la serie 
seguita a convergere, ma semplicemente ; ivi dunque sussiste sempre la prima delle 
due ultime eguaglianze. Circa il modo di comportarsi del prodotto parlerò più 
oltre (§ 102). 
Nel resto del presente § suppongo essere Xj carattere proprio. 
Per definire la funzione ^{s , Xj) in tutto il piano si comincia dallo estendere la 
funzione è di Riemann; e per far ciò prima si amplifica la T (cfr. Vili, 64). 
