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si avrà 
tls , z,(tnod. M)] = (l - ' ^, j . . . (l - j^, ) t\j , -/.^(mod. M.) J . 
Ora Tultimo fattore del 2° membro (^od. M,)] possiede le radici, clie 
gli attribuisce l'alinea a). I fattori precedenti si annullano nei punti 
2ft7rj — log"/j.^(/;, . mo-1. M,) •2\'Jt/ — log'/_,.^(A, , mod. M,) 
log ' log A, 
-k — 2,-1,0,1.2 
i quali evidentemente sono tutti situati sull' asse immaginario; dunque la fun- 
zione t{s , Xj) ! nel caso cbe Xj sia un carattere incompleto , possiede tutto questo 
insieme di radici , parte reali , parte puramente immaginarie, parte complesse al 
di fuori degli assi. Ed è necessario qui notare cbe sia fra le radici reali , una 
volta, sia fra le puramente immaginarie, più volte, può presentarsi la radice 0 ; 
in conseguenza a questa in ognuna delle K(s,Xj) io attribuirò il grado di mul- 
tiplicità Hj , convenendo che sia % nullo, se 0 non è tra le radici. In tutte tre 
le ipotesi degli alinea aj, bj, cj indicherò con Cj le radici di qualunque specie della 
funzione , x/)- 
d) Sia finalmente y = 0 , cioè rappresenti fj il carattere principale: si ha, 
analogamente al caso dei caratteri incompleti , 
«'.•.,)=(i-i)(.-i.)...(i-i-.)jw, 
e quindi , X)) possiede oltre le radici di Z{s) , le altre puramente immaginarie 
2kv:i 2k'Ki 2/Jit/ 
log 2 log A, ' \ogh^ 
— , 2,-1,0,1,2,...) . 
In questo caso k = 0 da. sempre la radice 0, quindi il grado di multiplicità 
n, della radice 0 è ))i -f 1. A simiglianza dei casi precedenti indicherò con Co le 
radici di qualsiasi specie di , x^) , mentre quelle di ^(s) le ho già indicate con 
c (Vili, 68}. 
La ?(5,x,) possiede inoltre in comune con <^{s) il polo L 
99. Contribuzione dell'aulore del presente scritto alle leggi di distribuzione 
dei numeri primi (da § 99 a 112). Formola per la totalità ^(My + N . ./ ) dei nu- 
meri primi compresi nella forma lineare -f N . e non superiori ad . •, trovata 
estendendo il metodo adoperato da von Mangoldt per ^(.r). — Non s' incontra dif- 
ficoltà ad estendere le funzioni A , e y adoperate da von Mangoldt [IX, 78, bJ, e 
79]. .Se non è potenza intera d'un numero primo, le predette funzioni verranno 
