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100. Nuova distinzione frai caratteri d'un numero. Caratteri appartenenti a 
un esponente. Somma dei caratteri d'un numero N appartenenti ad un esponente 
privo di fattori quadratici. — Per ottenere V estensione dei risultati di Cesàro 
menzionati in fine del § 94 occorre procedere ad ima valutazione assintotica del 
secondo membro di (132). 
E per far ciò introduco una nuova distinzione frai caratteri , la quale con- 
duce a graduare le diverse parti dell'anzidetto secondo membro, secondo l' ordine di 
grandezza, col quale esse aumentano al crescere indefinitamente di x. 
a) Comincio dall" esaminare i caratteri secondo il modulo 2^, e pongo per 
ora da parte il caso di ? = 2 , che esaminerò in ultimo. 
Il grado 2^~* dell'equazione binomia , che serve a determinare detti caratteri 
Ila per divisori 1,2,2',..., 2^~" ; quindi le radici di ciascuna equazione 
sono comprese fra le radici di 
ce = 1 ; 
e quelle di tali radici, cbe sono radici primitive di 
elevate a potenza 2* danno 1 , e a potenza inferiore non danno 1 ; quindi i ca- 
ratteri corrispondenti sono tali che elevati a potenza 2* danno, quali cbe siano gli 
indici a , e X, il carattere principale , ed elevati ad esponenti minori non danno, 
quali che siano « e X sempre Xo • l^i^ che tali caratteri appartengono aìP espo- 
nente 2*, e ve ne sono, per i >> 1 , 2?(2') .— 2' ; per / = 1 , oltre ai 2?(2) = 2, vi è 
l'altro Tj^iq/ anch'esso appartenente all'esponente 2. Laonde frai 2^"' — 1 caratteri, 
secondo il modulo 2^ , che restano dopo escluso il carattere principale, ve ne sono 
3 appartenenti all' esponente 2 
2* » » » 2* 
2' » » » 2' 
2^ " » * » 
e per verifica si trova 
oP-- _!_ . . . 2' -i- 2* -j- 3 
Poiché una radice primitiva di un'equazione binomia elevata successivamente 
ai diversi numeri primi relativi al grado dell'equazione, ed inferiori a questo, dà 
tutte le radici primitive della medesima equazione, ne segue che uno qualunque 
dei caratteri dell'uno e dell'altro gruppo 
