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Osservando che se M = 2^^8, secondo clie N diviso per 8 dà o no per resto 
1 , è N residuo o non residuo quadratico di 2^ ; e se M = 4 , secondo clie N di- 
viso per 4 dà o no per resto 1 , è N residuo o non residuo quadratico di 4 , il 
precedente risultato può enunciarsi : 
Se si indica con p(N , 2) ima /unzione numerica, che vaie 1, N è non resi- 
dito quadratico di 2^, e se ì:^ é residuo quadratico di 2^, vale — 3, se p>»2, vaie — 1, 
se pi = 2, la somma dei caratteri di N rispetto al modulo 2^ apiKirtenenti all' espo- 
nente 2, è data da ii(2)p(N,2). 
h) M — li" , cp(M) — — 1) , e siano $'o = 2 , ^, , ^, , . . . i fattori primi 
di questo prodotto. 
Vi è un sol carattere appartenente all'esponente 2 , ed è ( — 1)". 
Pei caratteri appartenenti ad uno qualunque degli esponenti q impari, biso- 
gna cercare la somma delle potenze v"*** delle radici primitive dell'equazione ^-'=1. 
Ora essendo q numero primo , tutte le radici , eccetto 1 , sono radici primitive ; 
quindi, per un noto teorema sulle equazioni binomie, la somma cercata è eguale 
a — 1 , se V non è divisibile per , ed è invece eguale ^ q — 1 , se v è multiplo 
di q. Osservando che nel caso presente, secondo che v è o no divisibile per q (sia 
questo 2, 0 un fattore primo dispari), è N residuo o non-residuo z^'^* di A", può 
trarsi da quanto finora s' è detto in quest'alinea che : 
Se s' indica con p(N , q) una /'unzione numerica, che vale \ , se N è non-residuo 
q'"'"" di h'^, e vale invece 1 — sel^ è residuo q''"" di h'', la somma dei caratteri di N 
rispetto al modulo h'"^, appartenenti alV esponente q. è data da iJi.(q)p(N , q). 
Suppongo ora che si tratti dei caratteri appartenenti ad un esponente \~r[i^qi^q;^. . . 
essendo i^ , i^, , . . . indici tutti differenti, e di cui uno può essere anche 0. Bi- 
sogna allora ricorrere alla regola di Cauchj, che fornisce la somma delle potenze 
simili delle radici primitive d' una equazione binomia , regola già citata nel 
(Gap. Vili, § 69). In virtù di essa si ha che, se qi^,qii,,qi,, sono i fattori primi 
di A, che dividono v, la richiesta somma di caratteri è 
KA)(i-7,)(i-y,)(i-^,)... ; 
a o c 
sicché se V è primo con A, la precedente espressione riducesi a fjL(A). Questo risul- 
tato converrà enunciarlo nel seguente modo : 
Se A = q.-,q.jq(3 . . . , e sip)one 
p(N,9,^)p(N, <7,^ìp(N,fyJ... = p(N,A) , 
la somma dei caratteri di N, rispetto al modulo M = h'^, appartenenti all'esponente A, 
(} data da |i(A)p(N,A). 
c) M — 2^A."'...A/'S<?(M)==r2^-7i."r'...A/'''''(A— 1)...(A„— 1), e sia- 
no, come al solito, q^=^ > !Zi » !7ì » • • • i fattori primi differenti di quest'ultimo pro- 
dotto. 
Comincio col determinare la somma dei caratteri di N, secondo il modulo ]\I, 
appartenenti all'esponente 2. 
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