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Poicliè 
X(N, mod. M) = ^(N, mod. 2P)x(N , mod. 7;^») . . . -/(N, inod. /i^"^"') , 
e Tesponente, cui appartiene il carattere, che sta al primo membro, è il minimo 
multiplo comune degli esponenti , cui appartengono i caratteri componenti ; così 
se il primo esponente è un numero primo , i secondi debbono essere o 1 (cioè i 
caratteri relativi debbono eguagliare il carattere principale) , o debbono essere lo 
stesso numero primo. 
Nel caso dunque che tal numero primo è 2 , e che sia ^ >> 2 , dev'essere 
X(N, mod. 2^) = \ , (- ir , (- 1/ , (- 1)'*^ , 
Perciò la somma dei caratteri, in questo caso, è data dall'espressione 
[ 1 + (- ir -f (- 1)^ + (- ir^ j [1 + (- ir ] . . . [ 1 4- (- 1)'" j - 1 . 
Se ?=2, il primo fattore del primo termine di questa espressione si riduce a 
— 1)'; e se p <C 2 , questo primo fattore va soppresso del tutto. 
La espressione soprascritta vale — 1 nella supposizione cbe non tutti gV in- 
dici del numero N relativi ai moduli 2^ , 7i,'^i , • • • , /i^"'" siano pari ; e quando in- 
vece questi indici sono tutti pari, equivale a 2'"*' — 1 se p;>2, a 2'"*' — 1 se 
^ = 2, a 2'" — 1 se fi<C2. Ma secondo cbe si avvera l'una o l'altra ipotesi circa 
gì" indici , il numero N è un non-residuo o un residuo quadratico di M ; dunque 
può concbiudersi : 
,Se si indica con p(N , 2) una /unzione numerica, che vale \ , se'ì^ èìin non -resi- 
duo quadratico di M , e, quando N è un residuo quadratico di M , vale 
1 - 2"'*' , se p > 2 , 
1 — 2™^' , » P = 2 , 
1 — 2*" . » P < 2 , 
la somma dei caratteri di N , rispetto al modulo M , appartenenti alV esponente 2 , è 
data da ii(2)p(N,2). 
Passo ora a determinare la somma dei caratteri di X, secondo il modulo M, 
appartenenti ad un esponente, che sia un numero primo dispari q. 
In tal caso vi dovranno essere uno o più caratteri componenti appartenenti 
air esponente q , e siano essi quelli relativi ai moduli 
"n, ' "iij 1 • • • ? ''tir » 
sicché il fattore primo q è posseduto dai corrispondenti r numeri la con- 
