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dove la somma è estesa a tutti gì' interi n primi relativi col modulo M , e il 
prodotto a tutti i numeri primi assoluti p , che non dividono M. 
Se 9l{s) è^compresa fra 0 ed 1 , la serie converge ^ma non assolutamente) , 
il prodotto invece diverge ; la funzione ^{s ; -/) può ancora essere definita dalla som- 
ma ; ma non è più lecito asserire che abbia luogo Teguaglianza col prodotto. Però 
può dimostrarsi che se x è un carattere non principale, ed s, essendo astretta a 
prendere solo valori reali, scende fra 0 ed 1 , il prodotto si serba convergente (non 
però assolutamente) , e l'eguaglianza fra serie e prodotto continua ad aver luogo. 
Ecco con quali restrizioni può estendersi al caso in esame la proposizione di 
Eulero. 
La (126) può scriversi sotto la forma (cfr. g 99, e Gap. IX, § 78) 
E(r) -^(j-O '^(^'^) 
n=i n=i n-=i «— i c 
dove alle c, pev comodità, si è soppresso l'indice/, ma non perciò esse cessano 
di indicare le radici della funzione ?(^,x) contenente il carattere -/,, cbe si con- 
sidera. 
Ora io dico che , al crescere indefinitamente di .r . la somma della serie 2 — — 
^ c — s 
c 
tende a zero. Per mostrarlo, indicando con s un altro numero, come s, compreso fra 0 
ed 1 , faccio prima vedere che 2 ' _ tende a un limite finito per jj = co , e poi fon- 
fi -» 
dandomi su di ciò , mostro che lim 5 ~ 0 
c — s 
Chiamo ordinatamente c e c"i le parti reale ed immaginaria di c : è noto 
[§ 98, aj] che c'è sempre inferiore ad 1. Essendo m un numero reale arbitrario 
espressione -^^ • può scriversi 
|[(a;-|- mf ~'icos(c"log(x m)) — a/~'*cos(c"\ogx)'] 
ì'[(x-]-my~'t sen (c"log(a; + ) — ~''sen(c"Jgga7)] ( ,' 
ossia, applicando alle due funzioni reali 
a;*^ "'t cos(c"loga;) , cu'' ~'t sen {c" log x) 
il teorema di Lagrange sul valor medio si ha 
= I (x-{--(\my [(e— s.) cos (c" log (x-\--(\m) ) — t'sen (e" log(a;-|-Ki>n) ) J 
c — s ^ 
+ [(e— 5jsen (c 'log(a-4-tj'm))+c''cos(c''log(a'4-'iQ'''«)) ] | , 
essendo t), ir) due numeri reali compresi fra 0 ed 1. Poiché è c<il risulta e — s^ — l-^O. 
c — s c — s ' 
