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Fissato m arbitrariamente, e facendo crescere .v indefinitamente, x-\-x\m ed x-\--(\m 
cresceranno anch' esse indefinitamente e lim ■ ■• = 0. 
c — s 
Ora con considerazioni analoghe a quelle adoperate da von Mangoldt [cfr. IX, 
78 ej, /)] potendo giustificarsi la inversione dei simboli limite e 2, sarà lecito 
conchiudere 
«=00 C 5 
c 
e quindi anche 
iim 
or=x 
^ c — s ^ c — s 
:0 . 
Perciò, in virtìi della nota condizione di Cauchy per 1' esistenza del limite, 
l'espressione 21 ^_ * > ^ crescere indefinitamente di tende a un limite finito. 
c — s 
Ora supponiamo ó\ <C , e sia =: 6' — -n . sarà 
^ C-5~" ^ C-S ' 
c e 
Al crescere indefinitamente di x il primo raembro^tende a un limite finito, 
lo stesso quindi deve avvenire pure dal secondo membro, x"^ cresce indefinitamente, 
dunque 
lira V £11 = 0 . 
ar=» C — S 
c 
E(x) 
In conseguenza il valore di 2 L{n)^^ più sopra scritto mostra che per 
n— 1 
s reale compreso fra 0 ed 1 la serie 2 L è convergente, e che 
Moltiplicando per d^. e integrando frai limiti -5 ed x , si ricava 
cioè 
00 
.2'log(l--''^^^^)-log?(^,^) 
