— 158 — 
e infine 
i = ?Cs'/) . 
Resta così estesa l'identità di Eulero. La convergenza del prodotto però non 
è assoluta perchè ^ ^-7» è divergente per 5<1. La convergenza del prodotto prova 
ancora il fatto che la funzione ^(s , x) non ha radici reali comprese fra 0 ed 1 , 
0 in altre parole, come fu costatato per la t^(s) , che tutti gli zeri y compresi nella 
striscia 0 •< Sl(s) <C 1 sono non reali. 
103. Valutazione assintotica della funzione ^(Mi/ + N , ^). Formole assintoti- 
che di distribuzione, le quali estendono alla forma + ^ il teorema trovato da 
Tchebichef per 4^ ± I , e le formole assintotiche date da Cesàro. Teorema di 
Poincaré sulla totalità dei numeri primi complessi di Gauss. Estensione di que- 
sto teorema ai numeri primi ideali nel campo corrispondente all' equazione 
.2;^'+ 1 = 0. — Procedo ora alla valutazione assintotica annunziata a principio del 
§ 100. Essendo s una variabile reale, considero la serie 
estesa a tutti numeri primi non divisori del modulo M. Si è già notato (VII, 59; 
V, 31) che quando x è il carattere principale essa si riduce a 
e che allora è convergente per 5>>1 , divergente per s ^1. 
Ciò premesso suppongo che il carattere x appartenga all'esponente A. Prendo in 
esame la serie 
^ ' ^ \J\ H- 1 „ <'^*»'* ~'"iA + 2 „ <^'^*')* >A + 3 p <^^^3)» -1 J ' 
Essa è assolutamente convergente per ^ >- ., \ . . Infatti il modulo del ter - 
mine generale non supera 
_L_ _L_4-_J L_ . _J L_4_ 
ÌA + I • ^ÌA + 2 ■ ^ÌA 4- 3 * p/^*^'' ' * ' ' 
che è minore di 
