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la cui norma non supera il numero reale positivo x, e poi ad estendere il teo- 
rema ottenuto, conforme a quanto annunciai nel § 95. 
E in primo luogo si consideri il campo degl' interi complessi generato dalla 
forma a^-\-a^i, essendo, come al solito, / radice dell'equazione quadratica j7"-f 1=0. 
Riterrò qui e in seguito come non essenzialmente distinti i numeri associati , cioè 
quelli, il cui quoziente ò una qualsiasi delle unità : e allora si sa vedi le fonti citate 
nel suindicato § 95) che dei numeri primi complessi con norma non superiore ad x 
ne fornisce uno (avente per norma 2) il numero primo reale 2. uno ciascun nu- 
mero reale positivo della forma 4 y -f 3 non superiore ad x'^ . e due ciascun nu- 
mero primo reale positivo della forma 4^' -f- 1 • il quale non supera x\ di modo che 
la totalità cercata è espressa da '.la formala 
1 + ^(-1// + 3 , ar» ) 2^f4y --\,x). 
Sostituendo in questa i valori forniti dalle (136) si ha 
1+ Y j \ ^^'-^'"^^ T ^(^'"'^ ! +^("^) - y ^(-^-^ ) - X i ^^'^'^ ) - - =1 . 
nella quale ^[x) non è enumerato il fattore primo 2 , sicché 1 + ^( 'O esprime la 
totalità nei numeri primi reali positivi non superiori ad x. vSi può quindi enun- 
ciare il teorema : 
La toialitd. dei numeri primi complessi, dei quali la norma noìi supera il nu- 
mero reale jjosit irò X, appartenenti al campo generato dalla forma a^ -j- a,i, essendo 
i* -f 1 = 0, eguaglia asshitoiica mente la totaliià dei n umeri primi reali posi! ivi non 
superiori ad x. e perciò assinfolica mente è espressa dal logaritmo integrale di x. 
A questo risultato è per altra via pervenuto il Poincaré nella memoria ci- 
tata in secondo luogo a § 95. Mediante la formola (135) esso può facilmente e- 
stendersi. 
Supposto p un numero primo reale positivo dispari , pensiamo il campo dei 
numeri interi generato dalla forma 
«e ^ «1 i r V'^"' ' 
dove r è una radice primitiva dell'equazione 
0?" + 1 = 0 . 
Com'è noto (vedi Bachmaxx. Zahlentheorie. Ili Theil, XVIII Vorlesung) 
per potere, quale che sia il numero primo dispari p, estendere a questo campo le 
medesime legg-i della divisibilità degl' interi reali , occorre introdurre i così detti 
numeri ideali. Mediante tale ampliamento i fattori primi, in cui un numero può. 
ed in un unico modo, decomporsi potranno essere effettivi, ma saranno general- 
mente ideali. Tutti i numeri primi ideali del campo si potranno ottenere mediante 
la decomposizione in fattori primi ideali dei numeri primi reali. 
