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Il numero primo reale dà nel campo considerato un solo numero primo a- 
vente per norma i). Per trovare quanti numeri primi nel medesimo campo dà ogni 
numero primo reale q diverso da p, bisogna trovare l'esponente A, cui appartiene, 
secondo il modulo p , il numero q : tale esponente , nome si sa , è un divisore di 
vf[p)=2i — 1, e allora il numero q si decompone nel prodotto di ^ numeri 
primi ideali di ognuno dei quali la norma è q^. 
Or poiché numeri congrui, secondo il modulo^, appartengono allo stesso e- 
sponente, se N è uno qualunque dei numeri — 1, e A è l'esponente cui 
N appartiene, secondo il modulo i numeri primi reali compresi nella medesima 
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forma lineare -p N genereranno ognuno - ^ ■ numeri primi ideali, di ciascuno 
dei quali la norma è sempre la potenza A""^ del numero primo reale , che 1" ha 
fornito. 
In conseguenza, di numeri primi ideali aventi la norma non superiore ad ce, 
i numeri primi reali racchiusi nella forma lineare pi/ + X ne forniscono 
Laonde la totalità dei numeri primi ideali del campo considerato , aventi norma 
non superiore ad x . è espressa dalla formola 
N=l 
Questa sommatoria è estesa ai possibili valori di N , cioè a tutti i numeri 
1,2, ,p) — 1. Ora io dico che essa può trasformarsi in un'altra estesa soltanto 
a tutti i divisori A di ^ — 1. Infatti dei numeri 1,2 ,p — 1 ve ne sono 9(A) 
appartenenti all'esponente A. e questi tutti sono di p residui degli ordini indicati 
dai divisori di e non residui degli ordini indicati dai rimanenti divisori di 
p — 1; in conseguenza la funzione V^y N , ) per tutti i ?( A) numeri N ap- 
partenenti al medesimo esponente A , avrà sempre lo stesso valore. Indicando perciò 
oon uno qualunque dei <p(A) numeri N anzidetti , la precedente formola potrà 
scriversi 
Il termine della sommatoria di ordine di grandezza più elevato è {p —\)^p!/ ^-\,x), 
e la parte di questo di ordine piiì elevato è 'is[x) ; sicché può dirsi che in una 
prima approssimazione, anche nel campo corrispondente a qualunque numero primo 
reale positivo dispari p, la totalità richiesta può essere espressa assintoticamente 
da ^{x), e quindi anche da Li(.r). 
Però v' ha un caso, in cui l'approssimazione, con cui ^{x) esprime il risul- 
tato è pari a quella raggiunta nel teorema surriferito di Poincaré. 
