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Suppongo che ij sia uu numero primo reale positivo di Gauss , vale a dire 
della forma S"" + 1. Allora i successivi divisori di ij — 1 sono 1 , 2 , 2* , . . . , 2". 
In conseguenza la tormola ultima trovata diventa 
e poicliè Njr solo per — ah non-residuo quadratico di j) , in virtiì della formola 
dell'alinea e/ , si lia per la totalità richiesta 
l+i'C-^O+i; j ?(2')-9(2^-') <f(2)-l I — + j ?(2";-<p(2-'; 9(2)-l j J — P ; 
r=0 ' * r— a 
ma le somme fra grappe sono nulle , dunque la precedente somma si riduce ad 
1 +^(-^)- nella quale ^(./•/ non è enumerato il numero primo jj , sicché 1 + M^) 
esprime la totalità dei numeri primi reali positivi non superiori ad x. Si può quindi 
con pan approssimazione che nel teorema di Poincaré enunciare: 
La totalUà dei n umeri primi ideali, dei quali la norma non supera il numero 
reale positivo x , appartenente al campo generato dalla forma 
a« + «.'■ + ««'•"• -i • 
essendo r radice pìnmitiva delV equazione linomia -|- 1 =0, cui grado è un nu- 
mero primo reale positivo della forma 2'* 4- 1 , eguaglia assintoticamente la totalità 
dei numeri primi reali positivi non superiori ad x , e perciò assintoticamente è espres- 
sa dal logaritmo integrale di x. 
105. Distribuzione dei numeri primi fra le due classi dei residui e dei non 
residui quadratici , d'un dato numero M. Estensione al caso dei residui q'"' {q es- 
sendo un fattore primo dispari di 9(M) ). Illustrazioni numeriche. — La legge di 
distribuzione di Tchebichef è caso particolare di una legge ben più generale. Mi pro- 
pongo la ricerca della distribuzione dei numeri primi non superiori ad ./• fra le due 
classi dei residui e dei non-residai quadratici del numero M. Basterà immaginare 
scritta la (135) per tutti i numeri N primi con M , inferiori ad M, e residui 
quadratici di M, e sommare le formolo risultanti. Occorrerà dunque calcolare 
la sommatoria ^?(N , A) estesa a tutti i predetti valori di N. Comincio dal caso 
A — 2. Suppongo, come al solito, che il numero M decomposto in fattori primi sia 
eguale a 2^/^"'. . . hl'^' . . . K^* . ■ . /C,"' • • • che « . X siano gì' indici di N relativa- 
mente al modulo 2^ e v,, ^- siano quelli rela- 
tivi ai moduli ^7' » • • • < K"* ^ ■ ■ ■< » •• • , ^„.'" • 
Se N è residuo quadratico di M, tutti gl'indici sono pari, basta che ve ne 
sia uno impari, perchè N sia un non-residuo quadratico di M. 
Inoltre dei possibili valori per ciascun indice, metà sono pari e metà impa- 
