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Ora frai numeri primi inferiori a 1000 non vi sono che i numeri 
53 , 73 , 109 , 181 , 233 , 307 , 359 , 467 , 521 , 541 , 577 , 593 , 
701 , 811 , 827 , 863 , 883 , 937 
i quali soddisfino a queste condizioni. Essendo essi 18, la legge si trova veri- 
ficata. 
108. Modo come varia ^(M// + N , ./•), quando N percorre la successione 
dei numeri inferiori ad M, e primi relativi ad M. Quali di queste forme My+N, 
che cosi s'ottengono, risultano più ricche di numeri primi. Desinenze n-cìfre 
preferite dai numeri primi. Illustrazioni numeriche. — La formola (135) mette 
pienamente in luce come, dato M, varia la totalità dei numeri primi della forma 
lineare M// -f- X fino al limite .r , quando N percorre la successione dei numeri 
inferiori ad M , e primi relativi ad M. Tutte le classi per le quali N è non re- 
siduo quadratico di M, e [considerati ti'Jti i fattori primi impari // di 9(M)] non 
residuo di M, sono fra loro egualmente ricclie di numeri primi, e più ricche 
delle rimanenti. Cominciano a scarseggiare i numeri primi quando N diventa uno 
dei detti residui, e segnatamente quadratico; le classi più povere di numeri primi 
sono appunto quelle, in cui N è residuo quadratico di M , e contemporaneamente 
(per tutte le q) residuo /^''"° di M. 
Il numero 1 è certamente fra questi, laonde la classe My + 1 è sempre fra 
le più scarse di numeri primi.. 
Esempio I. Una importante applicazione di quanto precede è la seguente : 
Chiamando desinenza n-cifra di un numero il numero espresso dalle ultime 
n cifre a destra di esso, si vuol determinare la totalità dei numeri primi fino al 
limite X, che hanno una desinenza 72-cifra assegnata, e quindi appurare quelle 
desinenze che sono più o meno preferite dai numeri primi. 
Per rispondere a tale quesito basta supporre in ciò che precede M = 10", sarà 
9(M) = 2"*' . 5""' , = 2 , y, = 5 , supporta m> 1- Ometto il caso di w = l, pel 
quale s'avrebbe la distribuzione fra le forme 10_y± 1 , lOy ±: 3 già notata dal 
Cesàro. 
In virtù della (135) si ha dunque la totalità dei numeri primi aventi la de- 
sinenza w-cifra d, e non superiori ad .r, espressa dalla formola 
^ ( lO-y + , a:) r= 2Ì^TT^ \ + , 2) [ -i \J^) + 1 ^( + -i Xx^) + . . . ] 
-f ^{d , 5) [1 ^J) + + . . .] + p(c^ , 2) p(rf , 5) ^(^^) + -j— X^^) +•••]( 
nella quale eguaglianza, quando d ò residuo quadratico di 10",p(f/,2) è eguale 
a — 7 0 a — 3 secondo che n è maggiore o eguale a 2, e, quando d è non residuo 
quadratico di 10", p(<^,2)=l. Inoltre, quando d è residuo quintico di 10", p(rt?,5)— — 4, 
e quando d è non residuo quintico di 10" , p(6^, 5)= 1. 
