b) Anche nel co.mj)0 dei numeri generati dalla forma 
«a -r«i r^ay--\ h 
essendo r radice priiuitiva della equazione hinomia, di grado primo reale positivo 
dispari, x" + 1 =: 0 , la somma dei logaritmi naturali delle norme dei numeri pri- 
mi ideali, dei quali la norma non supera il numero reale positivo x, è espressa, 
in ima prima approssimazione, assintoticamenie dalla somma dei logaritmi natu- 
rali di tutti i uameri jjrimi reali positivi non superiori ad il, e perciò anche è data 
assintoticamente da x, però se p è della forma 2^ -]- 1 , V approssimazione è pari 
a quella del precedente teorema. 
c) La somma dei logaritmi naturali dei numeri primi non superiori ad x , 
e residui quadratici di M = 2^1ip . , . liì^'" , se p>2, è data assintoticamente da 
(141) ^ j M^) + (1 - 2-^)[X(J) + K^h + K^h + •••]{, 
e in conseguenza quella dei numeri primi non superiori ad s., e non residui qua- 
dratici di M da 
(141') ~ [ K^) + H^^) + + Kco') + • ' ♦] • 
S'e ,3 = 2, 0 P <C 2 V esponente m 2 si muta in m + 1 , o in in. 
I!2. — Non bisogna dimenticare che tutte le eguaglianze dedotte sono assinto- 
ticbe, laonde non è da aspettarsi di trovare una perfetta identità frai valori cal- 
colati per mezzo delle formole, e quelli ottenuti colla diretta valutazione, quando 
questa è nei limiti della pazienza del calcolatore. Invece i primi valori presente- 
ranno una deviazione , cbe rappresenta la parte rimanente , la quale, al crescere 
di o: , è un infinito di ordine inferiore a ciascun termine della espressione assin- 
totica. Per dare quindi una giusta idea del valore dèlie formole rinvenute, pre- 
sento qualche esempio numerico. 
Esempio I. Sia M = 198 = 2 . 3' . 11 , quindi le N hanno gli stessi valori, 
che nell'esempio II del § 108. Sia poi x = 2000. Pel calcolo delle funzioni X fi- 
guranti nel secondo membro di (140) mi avvalgo delle tavole della funzione '^{x), 
che si trovano nella monografia premiata di Gram (cfr. IV, 25) e che si esten- 
dono appunto fino ad ^ — 2000. Ottengo 
■„,; ^|,„ f i„ ,-tAi\\ calcolati direttamente 
calcolati colla iormola (140) 
Valori della funzione ,, i colle tavole dei numeri primi, 
e colle tavole della funzione yC^) i - i . - 
' e dei logaritmi 
X(1982/ + 1 . 2000) 30,41 25,66 
X(198y + N, 3 , 2000) 121,67 130,67 
X(198y-i- 5 , 2000) 61,19 57,47 
X(198y 4- N,_5 , 2000) 98,15 91,21 
X(198j/4-N, ,2000) 244,75 229,34 
X(198i/ + N3 ,2000) 392.62 379,00 
X(198y4-N5 ,2000) 197,37 186,55 
X(I98y-rN, ,2000) 789,49 835,75 
X(2000) . 1935,65 1935,65 
