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CAPITOLO XII. 
115. Ragioni, che hanno indotto parecchi studiosi alla ricerca di nuove for- 
mola per la risoluzione del problema della totalità dei numeri primi fino a un 
limite assegnato. Serie di Lambert. Trasformazioni di Clausen-Scherk , e di 
Schlòmilch. Valore assintotico dato da Cesàro. Relazione fornita da Schlòmilch 
della somma di detta serie colla funzione ^(s). — Le diiEcoltà, che s'incontra- 
vano nello stabilire la formola di Riemann con tutto rigore, la scarsa speranza 
di render questa adatta ai computi numerici , volendo pure tener conto della parte 
periodica di spinsero in questi ultimi tempi parecchi studiosi a ricercare per 
mezzo di altra formola la risoluzione del problema. 
Malgrado che le nuove risposte non possano competere colla classica trovata 
da Riemann, stimo non poter chiudere il presente lavoro, senza esporre in sunto 
le ricerche in questo indirizzo. 
Una investigazione preliminare , cui mette capo più d' una di queste nuove 
soluzioni si è la ricerca d'una leff(/e dei numeri primi, ossia d'una equazione ca- 
ratteristica di questi , vale a dire d' una equazione tale che fra i numeri d' una 
determinata specie, ohe comprenda in sè tutti i numeri primi , questi, e solo que- 
sti, siano radici dell'equazione. Ciò non esclude che, fuori di quella specie, vi pos- 
sano essere altre radici dell' equazione stessa. Alla sua volta questa ricerca può 
fondarsi sullo studio della serie , che ha preso il nome da Lambert. Ond' è che 
occorre che io da questa cominci. 
Lambert a p. 507 dell'Architekton ik (1771) ebbe a considerare la serie 
(142) 5:(,.) = -i^ + -y:^ + y£^ + y£^ + ... , 
in cui naturalmente è da supporsi !a;|4:l. Si riconosce facilmente (CesIro , A- 
nalisi algebrica, p. 181) 
I che per | ìj? i >» 1 la serie non converge ; converge invece, ed assolutamen- 
te, per I i2? I < 1 ; 
II che indicando con la totalità dei divisori dell' intero n , la detta se- 
00 
rie, nell'ipotesi che sia convergente, si trasforma nell'altra ^i„x" , sicché può 
scriversi 
(143) Z{x) = a; -f 2a;» + 'Zx" -f Zx* -f 2a;» -f 4a;« -| \- l^x" -\ . 
Ili che alla somma ^'(^) si può dar la forma 
(144) j:^a=) = ---:c^-^—^ -f... 
