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Quest'ultima trasformazione, segnalata da Clausen in fine dell'articolo: 
Beitrage zur Theorie der Reihen. Creile Journal f. d. r. u. a. if., 
Voi. Ili, p. 95, 1828, 
si trova dimostrata la prima volta nell'articolo 
ScHERK — Bemerkungen iiber die Lambertsche Reihe. Creile Journal 
./. d. r. u. a. M., Voi. IX, p. 162, 1832. 
Essa offre il vantaggio che trasforma la serie (142) , lentamente convergen- 
te, nell'altra (144), la quale, eccetto quando x è prossima all'unità, converge molto 
più rapidamente. 
ScHLòMiLCH nell'articolo Ueber die Lambert'scbe Reibe. Zeitsckrift fllr 
Math. Wild PhysUt. , T. VI, p. 407, 18G1, assegna ancora alla £ la forma 
log — 
X 
% 
dove C , come al solito, indica la costante d' Eulero, e B.^ , , . . . , B,^ , . . . sono i 
numeri bernoulliani. Questa forma conviene specialmente nel caso , in cui x ba 
un valore prossimo all'unità. Per tali valori di ,v si presta bene l'eguaglianza as- 
sintotica 
che deducesi da 
in cui 
(Cesàro, La serie di Lambert in aritmetica assintotica. Rendiconti della 
R. Accademia di scienze fisiche e matematiche di Napoli, Serie 2*, voi. VII, p. 197, 
1893). 
Dal punto di vista della teoria, di cui mi occupo, può forse oSrire interesse 
la seguente trasformazione pure essa dovuta a Schl5milch {Zeiischrift fllr Ma- 
them. und Physik. , T. III , p. 248 , 1858). Moltiplicando per i„ ambo i membri 
dell'eguaglianza 
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la quale in fondo non ò altro che la definizione per mezzo di integrale definito 
della funzione V{s) , sommando da m = 1 ad oc, e riflettendo che 
00 
m=i 
1 1 4- a? l-^-x X aj'e (x) 
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