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si trova clie 
ossia per le (142) e (143) 
0 ttl—\ 
e ponendo 
si ottiene in fine 
elle è la formola di SchlSmilch costituite una relazione fra le funzioni 5? e 
la quale ultima tanta parte rappresenta nella teoria dei numeri primi. E però evi- 
dente che. affinchè la funzione [?(^)^* possa assumere questo aspetto, occorre che la 
parte reale di s superi 1. 
116. Equazione caratteristica dei numeri primi rinvenuta da Burhenne. — 
Nel secondo membro di (143) i coefficienti di quelle potenze à\ x , \ cui esponenti 
sono numeri primi, sono eguali a 2 ; i rimanenti tutti superano 2. Se si giunge 
ad ottenere l'espressione generale del coefficiente di nello sviluppo, ordinato se- 
condo le potenze ascendenti di x , della funzione Sl{x), eguagliando questa espres- 
sione a 2, si avrà un'equazione, la quale, frai numeri interi positivi, ammetta 
per radici solo i numeri primi. 
Questo concetto si trova attuato nell "articolo 
BuRHENNB — Ueber das Gesetz der Primzahlen. Grunert Archiv der Ma- 
ihematik und Physik, t. XIX. p. 442, 1852. 
Si parte da alcune formolo prese dagli Esempii di Calcolo di Sohncke, e che 
possono riscontrarsi anche nel più recente libro : Frenet, Recueil d'exercices 
sur le Calcul infinitésimal, p. 82, Es. 75. Per esse si ha, quando r è pari: 
d" «TI 11 \. ««si — ^-(n-f l)<pj 
" ■— / ir*' i • r— n"*'-— - \ :L 
2 (a;» — 2a:cos--— -f-lj 
e quando r è impari 
2'''-' (.r«-2xcos=^-|-l) 
essendo ?^ un arco determinato dalle equazioni 
2Ait 2/i« 
X — cos sen 
cos(p;^ = , sen(p, = j. 
2 
(x' - 2x cos -f l)' {x'- 2x cos -~ + l) 
