— 186 — 
funzione si applica lo sviluppo di Mac-Laurin il coeiSciente di a?" è — r"YO), 
e poicliò da (146") si ha 
si ricava infine 
"~ 2 ' n\J I d'-c" Vi — 2a;cosj/ + «* ■ Ioga; ) K^o^^^ 
0 logf Ioga; 
e — e 
Perciò l'equazione 
^logx ^ Ioga; 
caratterizza i numeri primi fra g'I' interi positivi. 
Per darla sotto uiia l'orma più esplicita bisognerebbe eseguire prima le de- 
rivazione multipla indicata sotto 1" integrale , e poscia la risoluzione delle varie 
forme indeterminate, che verrebbero presentandosi nel sostituire 0 ad ^.V è però 
a temere che, a parte la maggiore complicazione dei calcoli , avvenga per questa 
equazione qualche cosa di analogo a quanto è successo per la (147') , dopo la so- 
stituzione del valore della sommatoria: sicché è molto discutibile 1" utilità di e- 
steudere la ricerca in questo senso. 
Chi n"abbia voglia potrà rinvenire nella nota di Curtze due altre forme, non 
però pili semplici , della somma Ì{co). 
118. — Siffatte eguaglianze del Curtze; come anche la (149) applicate al caso 
di X compresa fra 0 e — 1 darebbero la somma della serie di Lambert compli- 
cata con immaginarli. Per evitar questi io osservo che, continuando a supporre 
1 >■ > 0 , si ha 
Se ora si pone 
®^(*'=ri-+ -ri? + + - 
si ricava subito 
( 1 50) .'<■) ^ ) — 2©lf£>(a;) + 2©KÈ)(a;-) . 
La quistione è ridotta a trovare ©l^i'a;). Ora questa si trova con un procedi- 
mento perfettamente analogo a quello adoperato per trovare Sl{x). Partendo dalla 
(148), e ponendo (5=.2rlog^ si perviene a 
1 /IX 2loga; , 21oga; 
(151; ©1^U') = -^-; / \ s^r; - 
0 2logx 2logx 
