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La (150) insieme alle (149) e (151) fornirà dunque senza immaginarli la 
somma della serie di Lambert per x negativo. 
119. — Posteriormente alla nota di Curtze altri autori hanno proposte nuove 
formole per esprimere là somma della serie di Lambert. 
Nel brevissimo articolo 
ScHLOMiLCH — Xotiz uber die Lambert'sche Reiìie. ZeitschriftfUr Ma- 
themat. iind Phys., XXIX, p. 384, 1884 
s'esprime la somma in discorso per mezzo della funzione senoamplitudine, e degli 
integrali ellittici completi di l'' specie. 
Se K e Iv sono i due integrali ellittici completi di 1* specie di moduli com- 
_ S* — 
plementari à , k' = Vi — A\ tali che c =j: . si ha 
(152) — / log ( I — 2,>- - cos c -4- .-•) sen* am — . 
J T. 
• 
Nella più recente nota 
DE LA Vallée-Poussix — Sur la sèrie de Lambert. Anmlcs de la SociéU 
scientifìqìi'3 de BruxelUs, t. XX, p. 5G, 1898 
si rannoda la funzione 5? {.e) alle funzioni 6 di Jacobi mediante le quattro formole 
coti' ; 1 cotiTc e 
0 
0 
1 r-òB'fz) 
1 rjQ'(z) x^sen2z 
0 ] —2x^co?2z 
<\z 
ss-Ddo e/.-) 22(— ì/-'a **'""'sen(2v — 1)^- 
»=i 
oc , ^ 
0,' r) = 22^-' cos (2v — \ )z 
-Xi i i 
e(z) = 1 ^ 2 2 (— l.)*^"* ' coj (2vz) 
1 2a2cos2^ 
v-l 
Le ultime due possono trasformarsi mediante le funzioni ellittiche di Jacobi, 
e danno la (152) . come le due precedenti possono trasformarsi introducendo le fun- 
zioni ellittiche di Wejerstrass ""j. 
*) In queste formole di de la Vallée-Ponssin avviene cbe per uno dei limiti la funzione da 
integrarsi si presenta sotto forma indeterminata. Questa osservazione lia ispirata la recentissima nota 
Hansex — Xote sur la sommation de la sèrie de Lambert. Maifiemafisde Annalen, 
X. IV, p. 604. 1901, 
nella quale si Etabiiisce Taltt-a fjrmola 
0 0 
dove !e funzioni da integrarsi si mantengono finite e determinate in tutto l'intervallo d'integra- 
zione, i limiti coni,'resi. 
