— 188 — 
Tson voglio omettere infine che nell" articolo 
Cesàro — Sur les nombres de BernouUi et d Euler. Nowvelles An- 
nales de MatJiématiques. Ili sèrie, t. V, p. 305, 1886 
sono registrate le due formole 
, 1 
log 
icsen (<plog.r) à(f 
log — 0 
C — log log 
1 
log — 0 cp log — 
' X X 
la prima delle quali lia molta analogia colla (149), ed è attribuita a Catalan. 
120. Equazioni caratteristiche dei numeri primi rinvenute da Braun e da 
Levi-Civita. Formola dedotta da Levi- Civita per la totalità dei numeri primi non 
superiori a un limite assegnato. — Colla ricerca di una nuova equazione caratte- 
ristica dei numeri primi comincia la prima, che andrò esponendo, delle nuove 
*) Ancora della legge dei numeri primi si occupa la seguente pubblicazione pervenutami dopo 
che il presente lavoro era stato già presentato: 
Braun — Das Fortschreitungsgesetz der l'rimzahlen durch eine tra- 
scendente Gleichung exakt dargestellt. Wissenschaftliche Beilage zu dem Jahre- 
hericht uber das Schuljahr 1898-99 Koniyles Friedrich- Wtlhelms Gymnasium zu Trier. 
Prescindendo da quanto è già notorio, e da ciò che non riguarda direttamente le quistioni, di 
cui tratta il mio scritto , ecco quello che vi è di osservabile in questo lavoro. È noto ( cfr. Le- 
JEUNE DiRiCHLET — Lezioni sulla teoria dei numeri. Trad. Faifofer, pag. 25) il teo- 
rema espresso dall'eguaglianza 
e(^)+e(-^*Ì-)+... e(^*A-)+e(^)+... e(^)+e(^)+... 
Ora il Braun dimostra la proposizione reciproca : 
Se un intero x =|z 1 soddisfa all'equazione 
p^ )+ . . j,„" " • ^ ^ ^ , . 
esso eguaglia il numero primo successivo a p„ . 
Questa può dimostrarsi nel seguente modo, che a me pare più breve. L'ipotesi può scriversi 
p^ (Ì7)+KpfO+-. . • = _ 1) 1 . 
D'altronde si ha 
(X— 1\ ,X — 1\ /X—\\ /X—\\ /X — 1\ /X — 1\ 
