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soluzioni del problema della totalità dei numeri primi. Essa è contenuta nella nota : 
Levi-Civita — Di una espressione analitica atta a rappresentare il 
numero dei numeri primi compresi in un determinato intery slÌìo. Men- 
diconti della B. Accademia dei Lincei, serie o'', voi. IV, p. 303, 1895. 
La serie 
ce oo 
r,.m o.» Il „ 
in cui è supposta variabile complessa , è tale che il coefficiente aa'" è nullo se 
m è un numero primo, è invece diverso da 0 , se m è un numero composto. 
Poiché detta serie è convergente per I I <C 1 , se si descrive, centro l'origine 
e raggio p — — , la circonferenza C . lungo questa la serie «ì' sarà convergente, e 
quindi convergente in egual grado, perchè serie di potenze. Sia ora z un numero 
complesso qualunque, purché finito, e pongasi ic = pe'^ ; allora tutte le determina- 
zioni di j:"' sono date da e'-*-''''^gp-i<^-"e*<2»u-i)7t pei- 7^=... ,_2, — 1 ,0 . 1 ,2, ... Fra 
tutte queste si scelga quella corrispondente a ^ = 0 , sicché nelle formole succes- 
sive indicherà gi^-D'o^p+ic-DQ. Ciò posto per mezzo della serie 
oc 
2(C„_2)a;'"-' = a.-'%) 
m—i 
si formi l'integrale 
Dal paragone di queste due eguaglianze si hanno 
Dalla (n -j- 1)^^'"* di queste eguaglianze si trae ce <C.p„^i -j- 1 ; dalle prime n poi si trae che 
la totalità degl'interi divisibili per ,/>,,..., p„ compresi nell'intervallo (l,a: — 1) è eguale alla 
totalità degl'interi divisibili per gli stessi Pi , p„ compresi nell'intervallo (l , x) ; cioè che 
X non è divisibile nè per p^ , nè per ^, nè per p„; dunque x—p„^i . 
Non sembra agevole però trarre da quest'equazione caratteristica un'espressione analitica per 
, nè una espressione analitica per in funzione di S'. 
Menziono infine che la proprietà che la somma dei divisori d'un numero n, se questo è primo, 
eguaglia n-j-l, oppure qualche altra più riposta proprietà dei numeri primi, sono state adoperate 
per ricercare equazioni caratteristiche di questi negli articoli : 
Sardi — Sui numeri primi. Giornale di matematiche Battaglini. Voi. V, p. 371 , 1867 
e Sulle somme dei divisori dei numeri. Ibidem. Voi. VI I , p. 112, 1869. 
Però non essendovi in essi risultati notevoli, non ho creduto parlarne nel testo. 
