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In virtù del teorema di Caiicliv sui residui (Briot et Bouquet, Théorie des 
fonctions elliptiques, p. 194) si ricava subito, indicando n un numero intero 
positivo non nullo 
2?(n) = 0 , ^■^0)=Q , d^^-n) = i^-2. 
L'ultima di queste relazioni ci dice che l'equazione 
(153) 5*(4r) — 0 
caratterizza i numeri primi fra gV interi negatiti. 
Ciò premesso l'autore mostra che tutte le radici di questa equazione sono reali, 
e determina, per ciascun numero neg-ativo — un intorno, nel quale sia com- 
presa nessuna radice di — 0 . se n non è primo, o solo la radice — se n 
è primo. Questo intorno, per ;ì.^12, è l'intervallo ^ — n -> — + '^«j ' 
oppure, non essendovi radici non reali, la circonferenza di centro — no, raggio -^j- . 
121. — Dopo ciò è facile scrivere una formola, che esibisce il valore della to- 
talità 2r(./-) dei numeri primi non superiori ad x. In effetti d'iz) può scriversi 
C C "=1 
essendo 
essa è quindi una funzione intera, laonde potrà applicarsi il teorema di Cauchj, 
che dà il numero degli zeri contenuti in un area (Briot e Bouquet, Théorie 
des fonctions elliptiques, p. 199); e in conseguenza se, supposto w^l2, 
1 
r integrale 
s' indichi con C„ la conferenza descritta centro il punto — n , e raggio 
Wiz) 
c„ 
varrà 0 o 1 , secondo che n non è, oppure è, primo; s'avrà dunque per A- ^12 
E(x) 
----- 5 - - 2d / <ìr . 
I raggi delle circonferenze C« possono assumersi tutti eguali al più piccolo 
di essi 2,.;(3c)^2 ' ^ P^^ trasportare il centro di ciascuna circonferenza nell' ori- 
gine, sicché tutte verranno a coincidere coli' unica C descritta con centro l'ori- 
