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Se l'intero n verifica le ineijimglianze 
^(m)>n>^(Km) , 
fosto 
si ha 
Questa forinola, prescindendo dal lavorio, che richiede por l efFettivo compu- 
to, e d:'ir ignota rapidità di convergenza della serie, che vi figura , ha \ incon- 
veniente, che ha bisogno della conoscenza dei numeri primi j»;, , . . . . È però 
degno di nota il fatto che le ricerche esposte nel Capitolo II, che tanto servizio 
han reso per l'esatta valutazione di '^[m). e por la correzione delle tavole di nu- 
meri primi, sono anche capaci di fornire espressioni analitiche per la funzione ^. 
125. Soluzioni di Laurent , mediante il teorema di Wilson , o la serie di 
Fourier, oppure il calcolo dei residui, del problema di determinare >)— ^,odel 
problema più generale della determinazione della somma estesa a tutti 
i numeri primi, o solo a quelli di una prescritta forma lineare. — Anche dal 
teorema di Wilson si trae partito nello scritto : 
Laurent — Sur la théorie des nombres premiers. Comptes rendus d. s. 
d. VA. d s. T. CXXVI , p. 809 , 1898. 
Ivi si trovano due soluzioni della quistione di determinar la somma 2F(/^) 
estesa a tutti i numeri primi fino a un limite assegnato (cfr. Gap. VII , § 49). 
Questo problema per F(^) = 1 si riduce alla determinazione della totalità dei nu- 
meri primi fino al detto limite. 
Invece però delle funzioni K , L , M , N introdotte da Rogel , il Laurent ha 
pensato alla funzione della variabile complessa z 
e ^ — 1 
"(^) = ' 
e ' — \ 
che si riduce a 1 o a 0, secondo che z è un intero primo o composto diverso da 
4, quindi 
2-{W)=-2f(7'*) • 
Ora si consideri la funzione 
= e^^TTZTi • 
Atti - Voi. XI— Serie 2' - N.° 1. 25 
