— 194 — 
supponendo che l'assegnata funzione F^z) sia tale cte, al variare della z nel campo 
contemplato, resti finita insieme alla F'(z). 
Il denominatore di tc(z) si annulla solamente pei valori interi di però se 
2: è un numero primo p^, il numeratore è diverso da 0, quindi F(p^) = cD. D'altra 
parte è facile verificare che 
lim (u(z) - -AM) =: lini [z,-iz)F(z) + r,{z)F{z) + 2mx3{z)F(z) — F(;)Jit?] 
= °'(P>.) F(PÙ + F ( ih) + ^^FiPÒ 4= 00 ; 
dunque i numeri primi j)^ sono poli semplici di u(z), e i loro residui sono le F{p^). 
Se invece « è un numero composto k diverso da 4 , anche il numeratore di 
zi(z) si annulla, e si lia 
iiin u(z) = Im^ V(z) + zj[z) F'(z) + 2'KÌfs(z)Fiz) ] — o'(/ì) F{k) 00 . 
Se dunque si indica con C un contoimo, che comprende dell' asse reale sol- 
tanto un segmento avente un termine fra 4 e 5 , e l'altro fra numeri interi n ed 
in virtù d'un noto teorema (Briot e Bouquet , Th éor i e des fonctions 
elliptiques, p. 195) si ha 
r 1 
2F(p,) = F(2) + F(3)+J 5 
donde in particolare 
r(») 
5r(n) = 24-1 ^r-^ r=;j 7 . 
'c e~~— 1 
I24-. — La seconda soluzione proposta da Laurent è estendibile ancora al caso 
che si tratti dei numeri primi compresi nella progressione aritmetica 
-f N • N + M • N + 2M • . . . • ^ — M • a; , 
N ed M indicando come al solito due interi primi fra loro. Io quindi 1' espongo 
in tale ipotesi generale, però la modifico sostituendo alla funzione «j'(^), che l'au- 
tore seguita ad adoperare, l'altra 
sen 
K = — 
sen — 
z 
già adoperata da Rogel, avente in comune con -sf^z) la proprietà, che ne consiglia 
la introduzione. Si ha così il vantaggio di non far comparire l'unità immagina- 
ria, che può ben evitarsi in questa seconda soluzione. 
