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Supponiamo che u(n + indichi una funzione sviluppabile in serie di 
Fourier secondo i coseni e i seni dei multipli della variabile reale y ( Picard , 
Traité d'Analyse, T. I, p. 215). Si avrà 
\ U(N) + 1 U(N + M) = lf\ (n + da + 1 i ^ f (n + ^) cos.« . d« ; 
ossia cambiando la variabile « sotto agi' integrali , mediante la relazione 
si ottiene 
- U(N) + - U(N + M) = - J U(4) di + _ 2 y U(4) cos (4 - N)] u4 , 
ossia mutando successivamente N in N + M , N + 2M , . . , ,x — M , ed aggiun- 
gendo alla precedente tutte le eguaglianze dedotte si ricava 
co 
-U(N)+U(N4-M)+.-.+U(a— M)4- U(e)d|+^2 J U{4) cos (4-N) \d| , 
Ora se poniamo 
sen(|-r(i)) 
sen -jr 
la precedente eguaglianza si muta in 
* N sen -i- *=i N sen -n- 
dove la sommatoria, al primo membro, è estesa a tutti i numeri primi compresi 
nella progressione 
■f-N • N 4- M • N + 2M • . . . • — M • .V ; 
colle avvertenze P che, se i termini estremi della progressione fossero numeri pri- 
mi, le parti F(N) , F(^) della sommatoria andrebbero affette dal coefficiente ^ ; 
2* che, se frai termini della progressione fosse il numero 4 , al secondo membro 
dell'ultima eguaglianza (essendo = — J/2) andrebbe aggiunto 1^2 F (4) , o 
^/2F(4) secondo che 4 nella progressione è termine estremo o intermedio. 
