— 196 — 
Se si suppone F(4) = l, il primo membro dell'ultima eguaglianza si ri- 
duce alla totalità dei numeri primi compresi nella progressione frai termini N 
ed .r , coli "avvertenza che se uno o l'altro di questi numeri fosse esso stesso pri- 
mo, per ciascuno di tali fatti la funzione avrebbe Taumento di , e non di 1 ; 
di tal guisa il primo membro si ridurrebbe a quella funzione sopra (XI, 99) de- 
notata con /(Mi/ -f N , a;) , anzicbè a ^?(My + N , Si ha dunque 
^-^>^mJ —r-'^-^yi^J . cos(— (^-N))cl, 
•sen *-i N sen 
Nel più recente articolo: 
Laurent — Sur les nombres premiers. Nouvellcs Annales de Mathómati- 
ques. Ili sèrie, t. XVIII, p. 234, 1899 
il medesimo autore fornisce una nuova soluzione del problema della determina- 
zione della somma 2 j7 » estesa a tutti i numeri primi fino a un limite assegnato. 
Essa si fonda sopra un nuovo teorema, che come quello di Wilson, distingue 
i numeri primi dagli altri interi, e che s'enuncia: 
Se si considera il prodotto 
(1 _a;*)...(i_^.s<»->)) 
(1 — x^-') (1 — a»<"-") ... (1 - a'*"-»'") 
P esso si riduce a n \ se n è iwìmo, e a 0 se n è composto, quando vi 
si rimpiazza x con una delle radici immaginarie di x" — 1=0; 
2° se lo si divide per -^^^ » ^^^io è 0 , se n è composto : esso è n \ se 
n è primo ; 
3" il residuo di „" ^ relativo alle radici di x" — 1=0 [esclusa la radi- 
ce \) è eguale a — n"~* . 
Questa proposizione agevolmente si dimostra, e da essa senza difficoltà si trae 
il seguente risultato : 
Si formi la serie , evidentemente convergente quando x non è radice d' una 
equazione — 1=0, 
e si cerchi il residuo di — /t(^) relativo ai poli compresi in una corona circolare 
formata da due circoli aventi i centri nell'origine, l'uno molto piccolo e l'altro 
