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Se ìi^ è il numero dei divisori cosi condizionati , clie il numero n possiede, il 
termine in parola comparirà col coefficiente h^: sicché potrà scriversi per distesa 
11 ^11, ,,11. .1 l 
Ma^) = -^7^^ i:-^ + 2 -7^ — + • • • + ^„ -V 
V(4)a;-4 ' g\^)x~^' " g\n) x — n ' ' /O») a; — * 
Le (154) dicono che non comparirà il termine -~r — ^ — , se n è primo; e 
' ^ g{n) X — n r ' 
inoltre non lo si vedrà, se n è un numero composto non ammettente divisori sod- 
disfacenti alle (154"). Di tali numeri composti certamente esistono, così, se P=6, 
non ammettono divisori soddisfacenti alle (154") i numeri 14, 21, 22, 26, 27, 28, 
30, 32, 33, 34. 35. Però è facile convincersi che tali numeri composti sono mag- 
giori di m. In effetti non essendovi divisori di n compresi nelPintervallo , 
dovranno esistere divisori (diversi da 1 e da n , giacché il numero è composto) fuori 
di questo intervallo; ma allora il numero n è superiore a 2p, quindi è maggiore 
di m , essendo p > — . Resta dunque stabilito che i termini — ^ tali che 
= 2 ^ g (n) .c — n 
n non superi m, i quali manchino in h{x), corrispondono necessariamente a nu- 
meri primi. 
Ciò premesso sostituisco in li{x) successivamente i numeri interi 2,3,...,m,. 
e indico, per brevità, con p quelli fra questi, che sono primi, e con n i compo- 
sti. Da quanto sopra s'è detto risulta 
Ìi{p) — Q , ft(n) = <>n<a . 
Quindi 
(o(;3)=l , ai(«) = 0 , 
e perciò 
(0(2) 4-0) (3) -{ 1- (o(m) = à(*n) . 
Così resta giustificata la prima soluzione di von Koch; ed in quanto ad essa 
^ 2 
è utile soggiungere, che, se dapprima si sceglie P > , e poi dalla sommatoria 
doppia 
22 ' ' 
g\\tM) X — uv 
si ritengono tutti e soli quei termini , in cui il prodotto |xv non supera a , e si 
continua ad indicare con h{x) la somma così limitata, sarà il prodotto k{x) = 
g{x)h{x) una funzione razionale intera di grado « — 2 , la quale pei valori 2 , 
3 , . . . , o della x prende valori assegnati , e propriamente assume il valore 0 pei 
predetti valori, che sono numeri primi, e i valori [compresi neirintervallo (2, a)] 
pei predetti valori, che sono invece numeri composti n. 
La funzione k{x) così determinata assume proprio la forma, che si dedurrebbe 
dalla formola di interpolazione di Lagrange. 
Naturalmente le formolo assumono laspetto più semplice, quando si dà ad » 
il minimo valore, di cui è capace, vale a dire m. 
