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CAPITOLO Y. 
§ 29 a 41. Eicerche di Cesàro. Teorema sul limite del rapporto della somma di 
due serie di funzioni pel massimo valore della variabile, pel quale esse sono 
1 °° 1 
divergenti. Coefficienti dello sviluppo di 1- >: -— in serie ordinata 
X — 1 m 
secondo le potenze ascendenti di.x — 1. Limite del rapporto per x=l delle 
m 
due serie c(a:)= T . >! —^r-, • Deduzione dei Viilori assintotici 
p m nz=2 
. . m 
(Dirichlet), di ^(m). Proposta dell'autore del iiresente scritto di una 
log?» 
co 
nuova segnatura. Considerazione della serie V — -J- , e dimostra- 
^ m ^ 
m=2 
zione del fatto che la differenza c,{x) — xa{x) gode della proprietà carat- 
m 
terizzata dal proposto simbolo il. Conseguenza. Valori assintotici 
^ ^ ^ logm — 1 
(Tchebichef) , (Glaisher), — (Ce- 
i lo 
log m — 1 logm — 1 
logm iogm (logm) 
sàro) di &()»). Illustrazioni numeriche. Vantaggi di quest'ultima formola de- 
dotti mediante il confronto dei risultati numerici iscritti nella tabella in fine 
di questo lavoro. Diagramma rappresentante le deviazioni relative delle for- 
mole di Legendre, Tchebichef-Gauss , Cesàro, Riemann-Gram, Conferma del- 
l'ordine di preferenza di queste. Prosecuzione del metodo di Cesàro eseguita 
da Ajello. Complemento ulteriore dell'autore del presente scritto per dimo- 
strare che il procedimento di Cesàro conduce al valore assintotico Li(w) di 
5(m), e con lieve modifica può anche condurre al valore, approssimato di 
^(m) fornito da Eiemann. Nota di Foussereau contenente qualche proposi- 
ti 
zione evidente conseguenza dell'essere un valore assintotico di ^(m). pag. 30 a 52 
logm 
capitolo; vi. 
§ 42 a 48. Determinazione di un numero primo, di cui sia assegnato il posto. 
Note di Scherk, Isenkrahe, e Smith. Le prime quattro formole di Pervou- 
chine. Deduzione e correzione della principale di esse secondo Cesàro. De- 
duzione e correzione delle rimanenti tre. Col raziocinio si deduce e per via 
empirica si conferma che , col crescere del numero esprimente il posto del 
numero primo, la formola di Cesàro diventa preferibile a quella di Pervou- 
chine. Illustrazione numerica delle formole oiGfreuti il valore della differenza 
fra un numero primo e il successivo. Tendenza dei numeri primi a diven- 
tare sempre più rari. Conseguenza della terza formola di Pervouchine de- 
dotta da Latchine. Proposizione più generale di Cesàro. Altra più antica 
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