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forinola di Pervouchine , che rientra in un teorema più generale enunciato 
anteriormente da Hargreave. Gli ulteriori enunciati di Pervouchine relativi 
alle somme multiple sono esatti? pag. 52 a 67 
CAPITOLO VII. 
§ 49 a 59. Applicazioni. Formoli di Legendre per la valutazione delle espres- 
" 2 n 7)' 2 ~i ■ ^'^^rmole analoghe di Hargreave e Tch^hi- 
i=2 ' t=2 ' ■ i—-2 ^ ' 
chef. Deduzione delle prime due formole col metodo di Cesàro. Deduzione 
delle stesse col metodo di Mertens, Estensione fatta da quest'ultimo al caso, 
in cui si cerca la somma delle inverse dei numeri primi non superiori a un 
limite assegnato e della forma 4y -j- 1, oppure iy -f 3. Si deduce che queste 
due forme sono egualmente frequenti frai numeri primi. Richiamo della teoria 
dei caratteri di un numero secondo un modulo assegnato primo con esso. 
Estensione fatta da Mertens al caso, in cui si cerca la somma delle inverse 
dei numeri primi non superiori a un limite assegnato e compresi nella forma 
lineare My + N » 67 a 83 
CAPITOLO Vili. 
§ 60 a 73. La memoria di Riemann. La funzione Z,{s) per valori complessi della 
variabile. Suo prolungamento analitico. Valori di ^(s) per s = — 2m , 0 , 
2w, — (2m — l),2m — 1. Altri modi dovuti ad Hermite , e de la Vallèe- 
Poussin per ottenere il suddetto prolungamento analitico. Espressione data 
da Piltz, e Stieltjes per ^(s). Valore di ^'(0). Espressione data da Lerch per 
^(s). Relazione funzionale di Schlòmilch. Distribuzione nel piano degli zeri 
di ^(s). Teoremi di Hadamard e de la Vallèe-Poussin. La funzione ^(t). 
Prima lacuna della memoria di Riemann, Introduzione della funzione 
r(x)= ^(^^+^^^) in luogo di 0(x) e ^x), e della funzione f^ix)^ ^iM+V^) 
in luogo di Q^(x) ,b^(x). Espressione di f^{x) per mezzo di un integrale de- 
finito. Trasformazione di questo. Seconda lacuna della memoria di Riemann. 
Formola finale per /'^{x) colla rettifica di Genocchi. Considerazioni sulla na- 
tura delle varie parti costituenti il valore trovato per fy{x). Trasformazioni 
di von Mangoldt e Gram della parte discontinua. Altro modo di presentare 
la formola di Riemann in vista di futura estensione. Funzione fi(w) di M6- 
bius. Deduzione di f{x). Valore di f{x) ricavato tenendo conto solo della 
parte continua di (a?). Riduzione a forma più comoda di detto valore 
eseguita da Gram. Considerazioni sui risultato della memoria di Riemann. 
Calcolazione delle radici di è,{t). Trasformazione eseguita da Phragmén della 
formola di Riemann per f,{x), allo scopo di agevolare i computi numerici. 
n 
Proposizione empirica di Mertens relativa alla funzione ^\i(m). Qualche 
altra funzione analoga alla fi(«). Teoremi di Bugajef, e di Sylvester . . » So & 108 
