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CAPITOLO IX. 
§ 74 a 82. Lavori pubblicati per colmare le lacune lasciate da Biemanu. Genere 
di 4(0 considerata come funzione di f^, secondo Hadaraard, von Schaper, e 
Borei. Esistenza delle radici o. Circa il numero delle radici di 4i la cui 
parte reale sia compresa fra 0 e un numero positivo T molto grande se- 
condo Hadamard e von Mangoldt. Realità delle radici a secondo Stieltjes , 
Mertens , e Jeusen. Dimostrazione l igorosa della formola di Eiemann per 
(a) data da von Mangoldt. Dissertazione di Piltz ..... pag. 108 a 122 
CAPITOLO X. 
1 
ìà 83 a 93. Valore completo di V 1 y — - -j- ... . Osservazione di Kluy- 
^ Pi 2 Pi' 
i—\ 1=1 
ver. Valore completo della funzione '^{x) di Tchebichef tratto da Gram , 
Cahen, e von Mangoldt. Eicerca dei valori assiutotici di '^(cc) , e X{x) se- 
condo Hargreave , Halphen, Cahen, Cesare, Hadamard, de la Vallèe- Pous- 
sin, e Mertens. Limitazione dell'ordine di grandezza delle differenze ^(x) — X, 
— X secondo de la Vallèe-Poussin. Dimostrazione di Cahen del teorema 
di Sylvester-Stieltjes espresso dall'eguaglianza lim { 6[x(l-}-^)] — 6(:r)|=oo. 
Prove complete di de la Vallèe-Poussin e von Mangoldt delle eguaglianze 
lira—— =1 , lira—— — = 1. Limitazione dell'ordine di grandezza delle 
differenze Li(j;) — ,Li(a;) — 6,fj;) secondo de la Vallèe- Poussin. Limitazio- 
ne dell'ordine di grandezza delle differenze \'^ix) — x\ , |X(x) — x\ , \^i{x) — Li(a;)|, 
\^{x) — Li(x)| secondo von Koch. Prove non complete di Mertens e Franel. 
Teoremi di Phragmén sul modo di comportarsi delle differenze f^(x) — 
[Li(j;) — log 2 ] , 4» (j:) — [x — log(2«)J. Cenno delle dimostrazioni di von 
Mangoldt, Landau, de la Vallèe-Poussin del teorema d'Eulero espresso da 
^ = 0 , e della dimostrazione di Landau del teorema di Mobius e- 
n 
n=l 00 
spresso da ^^^logh = — l » 123 a 138 
CAPITOLO XI. 
§ 94 a 114 Teoremi di Tchebichef e Poincaré sulla distribuzione dei numeri 
primi fra le due forme 4^ ± 1. Estensione di essi fatta da Stauievitch. Pro- 
blema della frequenza dei numeri primi nella progressione aritmetica abbor- 
dato da Piltz. Amplificazione della funzione ^(s) per mezzo delle funzioni 
1 x)- "^^^^ queste funzioni. Contribusionc dell'autore del presente scritto 
alle leggi di distribuzione dei numeri primi (da § 99 a 112). § 99. Formola per 
la totalità 3r(M»/-l'^ > ^) ^'^^ numeri primi compresi nella forma lineare Mj/-j-N 
