— 221 — 
e uon superiori ad x, trovata estendendo il metodo adoperato da von Man- 
goldt per ^{x). Nuova distinzione frai caratteri d'un numero. Caratteri ap- 
partenenti a un esponente. Somma dei caratteri d'un numero jST appartenenti 
a un esponente privo di fattori quadratici. Convergenza del prodotto 
Jf ^1 — ' fl"'''"f'o X è un carattere non principale, ed s è reale com- 
P 
presa fra 0 ed 1. In tale ipotesi sussiste l' identità analoga a quella di 
Eulero Vj — — . Valutazione assintotica della funzione 
5(M?/-|-N Formole assintotiche di distribuzione, le quali estendono alla 
forma M?/-f N il teorema trovato da Tchebicbef per iyàzl, e le formole assin- 
totiche dato (la Cesàro. Teorema di Poincaré sulla totalità dei numeri primi 
complessi di Gauss. Estensione di questo teorema ai numeri primi ideali del 
campo corrispondente all'equazione x^-\-\=.0. Distribuzione dei numeri primi 
fra le due classi dei residui quadratici e dei non residui d' un dato numero 
M. Estensione al caso dei residui 3'<^' essendo un fattore primo dispari 
di (p(M)]. Illustrazioni numericLe. Modo come varia 3r(M?/ -{- N , a;) , quando 
N percorre la successione dei numeri inferiori ad M, e primi relativi ad M. 
Quali di queste forme My ^> ^o^ì s'ottengono, risultano più ricche 
di numeri primi. Desinenze «-cifre preferite dai numeri primi. Illustrazioni 
X 
numeriche. Espressione completa della somma V j V __[_..,. 
^ p 2 ^ p 
p = S p*=N 
Espressioni complete delle funzioni 4'(j''l2/ -f" ^ ' i ^(^^i/ + ^ » ^) » quali 
estendono le funzioni '\>(x) e X(x) di Tchebichef. Valutazione assintotica di 
X(My-(-N,a;) analoga a quella, che ha fornito le formole di distribuzione 
di ^ (Mi/ -|- N , a:). Teorema di Poincaré sulla somma dei logaritmi naturali 
delle norme dei numeri primi complessi di Gauss. Estensione ai numeri primi 
ideali nel campo corrispondente all'equazione x'''-{-l—0. Illustrazioni nume- 
riche. § 113. Teoremi di de la Vallèe-Poussin, che comprendono come casi 
particolari quelli di Poincaré e Stanievitch indicati a principio del capitolo . paff. 138 a 179 
CAPITOLO XII. 
§ 115 a 130. Ragioni, che hanno indotto parecchi studiosi alla ricerca di nuove 
formole per la risoluzione del problema della totalità dei numeri primi fino 
a un limite assegnato. Serie di Lambert. Trasformazione di Clausen Scherk, 
e di Schlomilch. Valore assintotico dato da Cesàro. Eelazione , fornita da 
Schlòmilch, della somma di detta serie colla funzione ^(s). Equazione ca- 
ratteristica dei numeri primi rinvenuta da Burhenne. Somma della serie di 
Lambert, ed equazione caratteristica dei numeri primi secondo il metodo di 
Curtze. Soggiunta relativa al caso, in cui la variabile nella serie di Lam- 
bert è compresa fra 0 e — 1. Somma della medesima serie secondo Schlo- 
milch per mezzo delle funzioni ellittiche , secondo de la Vallèe-Poussin e 
