Voi. \l. Serie 2.^ 1^09 
ATTI DELLA R. ACCADEMLV 
DKLLE SCIENZE FISICHE E MATEMATICHE 
ALCUNE FORMOLI DELLA MECC\MC\ DEI FLUIDI 
IN UNO SPAZIO A TRE DIMENSIONI DI CUKVATUliA COSTANTE 
Nota I. 
.li DOMEMCO DE FRANCESCO 
pre^fintata netl'nduriama dd dì 7 Ghigno i902 
Oggetto di questa Nota è di stabilire con metodo elementare le formolo fondamen- 
tali della Meccanica dei fluidi in uno spazio a tre dimensioni di curvatura costante. 
1. Premettiamo due formolo di geometiia relative al volume di un parallele- 
pipedo infinitesimo. 
Si abbia in uno spazio iperbolico a tre dimensioni *) un parallelepipedo in- 
*) Solo per fissare le ike noi supponiamo lo spazio iperbolico, ma le formule vaiarono anche 
per lo spazio ellittico mediante una [liccola vai iazicne nel sijjn ficato delle notazioni. Ricordiamo 
infatti che un punto s'intende individuato dal e ^ue Ire distanze 4 . KJ . ^ da tre piani coordinati 
ortogonali, o dalle quattro coordinate omogenee x ,y ,z legate con ^ dalle relazioni: 
/X .4 .ti . ? P 
{a) X = t sen — , y = i sen — , z = i sen —, u= cos — , 
essendo p la distanza del punto dall'origine, ed ~ la radice quadrata della curvatura; e siccome, 
detti a,p,y gli angoli direttori di p, si ha: 
= — ^ = = t sen — , viene : u* — x' — — = l . 
cosa cos p cos Y ^ 
Nello spazio ellittico noi assumiamo k—ì, e npH'iperboliro h = i. Nel secondo a,y,J,u 
sono tutte reali e des gnano i seni iperbolici Sen^ , Sent) . Sen^ ed il coseno iperbolico Cosp; nel 
primo ad evitare gl'immaginari, giova assumere invece delle (a) le seguenti: 
/7.\ 4 1Q ? P 
(6) 07 = sen— , y = sen — , ^ = sen , « = cos — , 
ed allora si ha: x* y"* -]- z* u* = l. (La formoli (1) vale e?nalmente). 
La X* -\- -\- z* = l evidentememe è più conio la d. ll'aitra, e quindi anche nello spazio 
iperbolico giova in certi oasi preferire le (l) (come del resto abbiamo fatto talvolta nelle Memorie 
precedenti). Questa sostituzione delle {ò) alle (n) si eff. t'ua scrivendo in tutte le formole provenienti 
dal sistema (a), al posto di x,y.z le qnainità ix,iy,iz (Cfr. Alcuni pn.llemi di Meccanica in 
uno spazio a tre dimensioni di curvatura costante. Mem. 1 e li, Aiti della R. Acc. delle Scienze 
di Napoli, 1900). 
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