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finitesimo determinato dai tre spigoli concorrenti ds^, ds^, ds^ , e siano ordinata- 
mente : 
i M it: y z \ 
j M + dw, X -\- dx^ y + rfy, z + dz^ j 
j u -j- du^ ./■ 4" dx^ y ■ rf^j 2 + dz, j 
I -r rfwj + '^•-''a y + ^y^ - + -^^3 '■ 
]e coordinate omogenee del vertice comune e degli estremi dei tre spigoli , efe, , ds, 
rispetto aduna terna di assi ortogonali: dico che il volume dV di questo paral- 
lelepipedo è espresso, in valore assoluto, dal determinante formato dal precedente 
schema , ossia : 
tt ./■ v z 
du, ria-, dy, dz. 
du^ dx^ dy^ dz^ 
. f^«3 dy^ dz^ 
Infatti , scriviamo il secondo membro sotto la forma : 
(1) 
I 
il' a- y Z 
1 ! idu^ d i, dy^ dz^ 
i idu^ dx^ dy^ dz^ 
, idu^ dxg dy, dz^ 
ed innalziamo a quadrato (moltiplicando per orizzontali). Tenendo presenti le for- 
mole : 
m' — x* — — ^'=1 , udu — xdx — ydy—zdz^O , 
— du*-{-dx*-\-dy^-\-dz'*=ds* , —du^du^-\-dx^dx^-\-dy^dy^-\-dz^dx^-=ds^ds^ cos (2 , 3) ♦), 
*) Questa formola, che non è stata data nelle Note precedenti, si dimostra nel modo seguente. 
Chiamando ds^^ l'elemento che conginnge i punti 
(a?-fda;, ,2/-fdy, ,z-f c/«j, «< + rfM^ , (a; + djjj , y + dy, , « + d*» , M -f dwj) , 
si ha per la 3' delle (2): 
ds«„ = {dx^ - dx^)* + {dy, — dy,)» + (dz, - dz,^ - (du, - dw,)» 
= ds\ -\- d*', — 2(dtf',dvC, + dy,dy, -\- dz^dz^ — du,du^ . 
Ma si ha pure: 
ds%, = ds«, 4- d*»3 — 2ds,ds^ cos (2,3) ; 
quindi: 
ds,ds^ cos (2 , 3; = dx,d.r^ -j" dy,dy^ -\- dz^dz^ — du,du, . 
