Allora si ha 
— 13 — 
(24) / -~ — T = <l>-^cosi. . 
equazione che corrisponde al teorema di Beinoulli generalizzato. 
L' equazione (23) rappresenta una famiglia di supertìcie, ad ognuna delle 
quali corrisponde un valore della costante dell'integrale (24). 
Appartengono a queste superficie le linee in numero doppiamente infinito 
rappresentate da : 
rh. lìu liz 
(25) _^ J*^— . 
e quelle, anche in numero doppiamente infinito, rappresentate da : 
dx dy di 
F=Q=R- 
Le prime sono le Utiee di moto, cioè le linee che ad un dato istante hanno 
in ogni punto la direzione della velocità che compete al punto stesso , le altre . 
come dimostreremo nella Nota li, sono le linee vyriicaU, cioè le linee che ad un 
dato istante hanno in ogni punto la direzione dell' asse istantaneo di notazione 
della molecola corrispondente al punto stesso ('). 
Teorema di Helmholtz 
10. Ponendo nelle equazioni (22) 
(27) F = <t> — T — / — , 
esse diventano: 
a Dèi' ^ „ <>F 
Òt U Ut Or 
(*) Il Poincaré, sebbene non scriva l' equazione analoga alla (23), dimostra come nel moto per- 
manente, tirate da nn punto qualunque una linea vorticale e una linea di moto, illuogo geometrico 
delle linee verticali che passano per la linea di moto coincida col luogo geometrico delle lineo di moto 
che passano per la verticale. Queste superficie però, rappresentate generalmente dalla (23), possono 
essere considerate anche prescindendo dal moto permanente. Esse t'ormano una specialità di quelle che 
il Bel trami chiama vorticoidi, e che sono il luogo geometrico delle linee vorticali che passano per 
i punti di una linea qualsiasi. 
