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così : 
.(. + 4) = (.' + |l5 + ^. + |l,)*. 
Avremo dunque, 
Queste tre equazioni mostrano che le due molecole considei-ate alla fine del tempo 
t -\- dt trovansi ancora sopra una linea vorticale. 
In ciò consiste appunto il teorema di Helmholtz. 
Potenziale delle velocità. 
11. Supponiamo che il quadrinomio 
x'du: y'dy -f z'dz — udu , 
sia un differenziale esatto, considerando t come una costante, ossia che sussista il 
potenziale di velocità. In tal caso, detta cp una funzione di x,y,z, essendo: 
(3.) + 
le equazioni di condizione si riducono alle (21), postovi P —0 , Q =0 , R = 0. 
Allora la superficie (23) svanisce, e quindi Tintegrale (24) ha luogo per tutti i 
punti del fluido. 
12. Il teorema di Lagrange: « Se ad un istante qualunque sussiste il potenziale 
di velocità, esso sussisterà durante tutto il moto », si può considerare come un corol- 
lario del teorema di Helmholtz , giacché se in un istante qualunque P=:Q=R=0, 
per la (29) e le analoghe, le stesse quantità saranno nulle durante tutto il nuovo. 
Ma può dimostrarsi anche indipendentemente dal teorema di Helmholtz. 
Supponendo infatti che al tempo t il quadrinomio: 
x'dx -\- y dy \ z'dz — udu 
sia un differenziale esatto, poiché alla fine del tempuscolo dt esso diventa: 
tdr' t'y' "^z "òli 1 
^dx-\--^ dy 4- -j7 — Yt J ' 
